円柱 $x^2 + y^2 = 4$ の表面で、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $0 \le z \le 2$ を満たす領域を $S$ とする。ベクトル場 $F = 2y\mathbf{i} + 6zx\mathbf{j} + 3x\mathbf{k}$ について、面積分 $\iint_S F \cdot n dS$ を求めよ。

1. 問題の内容

円柱 $x^2 + y^2 = 4$ の表面で、$x \ge 0$, $y \ge 0$, $0 \le z \le 2$ を満たす領域を $S$ とする。ベクトル場 $F = 2y\mathbf{i} + 6zx\mathbf{j} + 3x\mathbf{k}$ について、面積分 $\iint_S F \cdot n dS$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円柱面をパラメータ表示します。

$x = 2\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$, $z = z$

ここで、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$, $0 \le z \le 2$ です。

パラメータ表示を $\mathbf{r}(\theta, z) = (2\cos\theta, 2\sin\theta, z)$ とします。

次に、法線ベクトルを計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = (-2\sin\theta, 2\cos\theta, 0)$

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = (0, 0, 1)$

$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = (2\cos\theta, 2\sin\theta, 0)$

次に、$F$ をパラメータで書き換えます。

$F = (2(2\sin\theta), 6z(2\cos\theta), 3(2\cos\theta)) = (4\sin\theta, 12z\cos\theta, 6\cos\theta)$

次に、$F \cdot \mathbf{n}$ を計算します。

$F \cdot \mathbf{n} = (4\sin\theta)(2\cos\theta) + (12z\cos\theta)(2\sin\theta) + (6\cos\theta)(0)$

$F \cdot \mathbf{n} = 8\sin\theta\cos\theta + 24z\sin\theta\cos\theta = 8\sin\theta\cos\theta + 24z\sin\theta\cos\theta$

次に、面積分を計算します。

$\iint_S F \cdot n dS = \int_0^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (8\sin\theta\cos\theta + 24z\sin\theta\cos\theta) d\theta dz$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (8\sin\theta\cos\theta + 24z\sin\theta\cos\theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (4\sin(2\theta) + 12z\sin(2\theta)) d\theta$

$= [-2\cos(2\theta) - 6z\cos(2\theta)]_0^{\frac{\pi}{2}} = (-2(-1) - 6z(-1)) - (-2(1) - 6z(1)) = 2 + 6z + 2 + 6z = 4 + 12z$

$\int_0^2 (4 + 12z) dz = [4z + 6z^2]_0^2 = 4(2) + 6(2^2) = 8 + 24 = 32$

3. 最終的な答え

32