正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の確率密度関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ が与えられている。以下の問いに答えよ。 1. この関数が最大値をとるのは、$x =$ ア のときである。

1. 問題の内容

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の確率密度関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ が与えられている。以下の問いに答えよ。

1. この関数が最大値をとるのは、$x =$ ア のときである。

2. パラメータ $\sigma$ は、このグラフの何を決める主要な要素か、簡潔に述べなさい。イ

3. ある学生が $X \sim N(50, 16)$ のとき $P(X > 58)$ を計算しようとし、「標準偏差は $16$ だから、$Z = (58 - 50) / 16 = 0.5$」として計算を進めた。この計算の誤りを指摘しなさい。ウ

4. 上記3.の正しい $Z$ 値を計算しなさい。エ

5. 上記3.の正しい確率を求めなさい。オ

6. この正規分布のグラフの変曲点の $x$ 座標は、$\mu$ と $\sigma$ を用いてカと表せる。

2. 解き方の手順

1. 正規分布の確率密度関数が最大値をとるのは、$x = \mu$ のとき。なぜなら、指数関数の中身が最小（つまり0）になるときに、確率密度関数は最大となるから。

2. パラメータ $\sigma$ は、正規分布のグラフの**分散**または**広がり**を決める。

3. 学生の計算の誤りは、**標準偏差ではなく分散が与えられている**点である。正しい標準化は、$Z = (X - \mu) / \sigma$ であり、ここでは $\sigma = \sqrt{16} = 4$ を使用する必要がある。

4. 正しい $Z$ 値は、$Z = (58 - 50) / 4 = 8 / 4 = 2$

5. $Z=2$ のとき、$P(X > 58) = P(Z > 2)$。標準正規分布表を用いて、$P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2)$を計算する。$P(Z \le 2) \approx 0.9772$なので、$P(Z > 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$。

6. 正規分布の変曲点は $\mu \pm \sigma$ で与えられる。

3. 最終的な答え

ア: $\mu$

イ: 分散または広がり

ウ: 標準偏差は16ではなく4であるべき

エ: 2

オ: 0.0228

カ: $\mu \pm \sigma$