## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき、そのモーメント母関数 $M_X(t)$ が与えられています。

標準化された確率変数 $Y = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ について、以下の問いに答えます。

1. $Y$ のモーメント母関数 $M_Y(t)$ を $M_X(t)$ を用いて表す。

2. 二項分布において、$n$ が大きく $p$ が小さいとき、$np = \lambda$ を保ったまま極限をとると、二項分布がポアソン分布に近似できることを利用し、$M_X(t)$ の極限を求める。

3. 標準正規分布 $N(0, 1)$ のモーメント母関数が $e^{t^2/2}$ であることを利用し、$Y$ のモーメント母関数 $M_Y(t)$ の対数 $\log M_Y(t)$ を $t=0$ 周りでマクローリン展開し、$t^2$ の項まで求める。

4. 上記

3. の結果の極限 $n \to \infty$ をとると、$\log M_Y(t)$ が何に収束するかを求める。

5. 中心極限定理が何を示すかを、モーメント母関数の収束という観点から考察する。

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2. 解き方の手順

1. 確率変数の線形変換の性質を利用して、$M_Y(t)$ を $M_X(t)$ で表します。

$M_Y(t) = E[e^{tY}] = E[e^{t \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}}] = E[e^{\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}X - \frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}}] = e^{-\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}} E[e^{\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}X}] = e^{-\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}} M_X(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}})$

したがって、$M_Y(t) = e^{-\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}} M_X(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}})$

2. $n$ が大きく $p$ が小さいとき、$np = \lambda$ を保ったまま極限をとると、二項分布はポアソン分布に近似できます。このとき、$M_X(t)$ の極限を求めます。

$M_X(t) = (pe^t + (1-p))^n = (1 + p(e^t - 1))^n$

$np = \lambda$ なので、$p = \frac{\lambda}{n}$

$M_X(t) = (1 + \frac{\lambda}{n}(e^t - 1))^n$

$n \to \infty$ のとき、$M_X(t) \to e^{\lambda(e^t - 1)}$

3. $\log M_Y(t)$ を $t=0$ 周りでマクローリン展開し、$t^2$ の項まで求めます。

$M_Y(t) = e^{-\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}} M_X(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}) = e^{-\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}} (p e^{\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}} + (1-p))^n$

$\log M_Y(t) = -\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}} + n \log (p e^{\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}} + (1-p))$

$\log M_Y(t) = -\frac{t \sqrt{np}}{\sqrt{1-p}} + n \log (1 + p(e^{\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}} -1))$

$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ を利用すると、

$e^{\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}}} - 1 \approx \frac{t}{\sqrt{np(1-p)}} + \frac{t^2}{2np(1-p)}$

$\log M_Y(t) \approx -\frac{t \sqrt{np}}{\sqrt{1-p}} + n \log(1 + p(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}} + \frac{t^2}{2np(1-p)}))$

$\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}$ を利用すると、

$\log M_Y(t) \approx -\frac{t \sqrt{np}}{\sqrt{1-p}} + n[p(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}} + \frac{t^2}{2np(1-p)}) - \frac{1}{2}p^2(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}} + \frac{t^2}{2np(1-p)})^2]$

$\log M_Y(t) \approx -\frac{t \sqrt{np}}{\sqrt{1-p}} + \frac{t \sqrt{np}}{\sqrt{1-p}} + \frac{t^2}{2(1-p)} - \frac{1}{2} \frac{np^2}{(np(1-p))} t^2 + O(t^3) = \frac{t^2}{2(1-p)} - \frac{p t^2}{2(1-p)} = \frac{t^2}{2} + O(t^3)$

4. $n \to \infty$ のとき、$\log M_Y(t)$ が何に収束するかを求めます。

上記の結果から、$n \to \infty$ では、$p \to 0$ なので、$\log M_Y(t) \to \frac{t^2}{2}$

5. 中心極限定理が何を示すかを、モーメント母関数の収束という観点から考察します。

中心極限定理は、$n$ が大きいとき、独立な確率変数の和を適切に標準化すると、その分布が標準正規分布に近づくことを示しています。モーメント母関数の収束という観点から見ると、$Y$ のモーメント母関数が標準正規分布のモーメント母関数 $e^{t^2/2}$ に収束することは、中心極限定理を示唆していると言えます。

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3. 最終的な答え

ア: $M_Y(t) = e^{-\frac{tnp}{\sqrt{np(1-p)}}} M_X(\frac{t}{\sqrt{np(1-p)}})$

イ: $e^{\lambda(e^t - 1)}$

ウ: $\frac{t^2}{2}$

エ: $\frac{t^2}{2}$

オ: 成立する