5本のくじの中に当たりくじが3本ある。5人が順番にくじを引き、引いたくじは戻さない。2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く確率を求め、既約分数で答えよ。

1. 問題の内容

5本のくじの中に当たりくじが3本ある。5人が順番にくじを引き、引いたくじは戻さない。2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く確率を求め、既約分数で答えよ。

2. 解き方の手順

まず、5人が順番にくじを引く場合の総数を考える。これは5本のくじの並び順なので、5! = 120通り。

次に、2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く場合の数を考える。

* 2番目の人が当たりを引く確率は $3/5$

* 3番目の人が当たりを引く確率は、2番目の人が当たりを引いたかどうかで変わる。

* 5番目の人が当たりを引く確率は、2,3番目の人が当たりを引いたかどうかで変わる。

以下のように場合分けをして計算する。

(i) 2番目、3番目、5番目の人が当たりを引く場合:

1番目、4番目の人が当たりを引くか外れを引くかで場合分け。

* 1番目当たり、4番目当たり: $3/5 * 2/4 * 1/3 * 2/2 * 1/1 = 12/120$

* 1番目当たり、4番目外れ: $3/5 * 2/4 * 1/3 * 2/2 * 1/1 = 12/120$

* 1番目外れ、4番目当たり: $2/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1/1 = 12/120$

* 1番目外れ、4番目外れ: $2/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1/1 = 12/120$

上記のすべての場合で、確率の積は$3/5 \times 2/4 \times 1/3 = 6/60$となる.

残りの2本のくじから、1本は当たりで1本は外れなので、それを1番目と4番目にどの順番で配置するかは2通りあり、$2/2 \times 1/1 \times 2 = 12/120$。

求める確率は、2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く並べ方を考慮する必要がある。

2番目、3番目、5番目の人が当たりを引くので、当たりくじ3本の並び方は $3! = 6$通り。残り2本の並び方は $2! = 2$通り。

よって、組み合わせは $3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1 = 12$ 通り。

従って確率は、$12/120=1/10$ではない。

別の解き方

5本中3本が当たりなので、2番目、3番目、5番目が当たりである確率を考える。

2番目、3番目、5番目が当たりである確率は、他の2本のくじ（1番目と4番目）がどうであるかに関わらず一定である。

5本のくじから3本を選んで、2,3,5番目に置く。これは ${5 \choose 3}$通り。

2番目、3番目、5番目に当たりくじを置くのは１通り。残りの２つをどこに置くかは2通り。

1番目と4番目がはずれである確率を考えると、$3/5 * 2/4 * 1/3 = 6/60 = 1/10$

5C3 = 10通り

* 1番目：外れ、2番目：当たり、3番目：当たり、4番目：外れ、5番目：当たり

* 1番目：外れ、2番目：当たり、3番目：当たり、4番目：当たり、5番目：当たり　（あり得ない）

計算：

$3/5 \times 2/4 \times 1/3 = 1/10$

3. 最終的な答え

1/10