複素数の計算問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $(1+3i)(2+i)$ (2) $(1+2i)(4-i)$ (3) $(1+4i)(1-4i)$ (4) $(3+2i)(3-2i)$

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $(1+3i)(2+i)$

(2) $(1+2i)(4-i)$

(3) $(1+4i)(1-4i)$

(4) $(3+2i)(3-2i)$

2. 解き方の手順

複素数の積は、通常の多項式の展開と同様に計算できます。ただし、$i^2 = -1$ であることを利用して、最終的に $a + bi$ の形に整理します。

(1) $(1+3i)(2+i)$

$= 1 \cdot 2 + 1 \cdot i + 3i \cdot 2 + 3i \cdot i$

$= 2 + i + 6i + 3i^2$

$= 2 + 7i + 3(-1)$

$= 2 + 7i - 3$

$= -1 + 7i$

(2) $(1+2i)(4-i)$

$= 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-i) + 2i \cdot 4 + 2i \cdot (-i)$

$= 4 - i + 8i - 2i^2$

$= 4 + 7i - 2(-1)$

$= 4 + 7i + 2$

$= 6 + 7i$

(3) $(1+4i)(1-4i)$

$= 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-4i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-4i)$

$= 1 - 4i + 4i - 16i^2$

$= 1 - 16(-1)$

$= 1 + 16$

$= 17$

(4) $(3+2i)(3-2i)$

$= 3 \cdot 3 + 3 \cdot (-2i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-2i)$

$= 9 - 6i + 6i - 4i^2$

$= 9 - 4(-1)$

$= 9 + 4$

$= 13$

3. 最終的な答え

(1) $-1 + 7i$

(2) $6 + 7i$

(3) $17$

(4) $13$