不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解く問題です。

代数学不等式根号二次不等式解の範囲
2025/7/22

1. 問題の内容

不等式 x+3<x+1\sqrt{x+3} < x+1 を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 根号内が非負である条件から、x+30x+3 \geq 0、すなわち x3x \geq -3 が必要です。
(2) 両辺が非負となる条件を考えます。x+30\sqrt{x+3} \geq 0 なので、x+1>0x+1 > 0、すなわち x>1x > -1 が必要です。
(3) x>1x > -1 のもとで、両辺を2乗すると、
x+3<(x+1)2x+3 < (x+1)^2
x+3<x2+2x+1x+3 < x^2+2x+1
0<x2+x20 < x^2+x-2
x2+x2>0x^2+x-2 > 0
(4) 二次不等式を解きます。
x2+x2=(x+2)(x1)x^2+x-2 = (x+2)(x-1)
したがって、
(x+2)(x1)>0(x+2)(x-1) > 0
これを満たすのは、x<2x < -2 または x>1x > 1 です。
(5) (1),(2),(4) の条件をすべて満たす xx の範囲を求めます。
x3x \geq -3 かつ x>1x > -1 かつ (x<2x < -2 または x>1x > 1) を満たす xx の範囲は、x>1x > 1 です。

3. 最終的な答え

x>1x > 1

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