不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中が0以上である必要があります。

$4x+5 \geq 0$ より、$x \geq -\frac{5}{4}$。

次に、不等式の両辺を2乗します。両辺が正である保証はないので場合分けが必要です。

場合1: $\frac{1}{2}(x+5) < 0$ のとき。

このとき、$x < -5$ ですが、$x \geq -\frac{5}{4}$ と矛盾するため、この場合は解なしです。

場合2: $\frac{1}{2}(x+5) \geq 0$ のとき。

このとき、$x \geq -5$ です。$x \geq -\frac{5}{4}$ とあわせて、$x \geq -\frac{5}{4}$ が条件となります。

この条件下で、両辺を2乗します。

$(\sqrt{4x+5})^2 > (\frac{1}{2}(x+5))^2$

$4x+5 > \frac{1}{4}(x^2 + 10x + 25)$

両辺に4をかけて

$16x+20 > x^2 + 10x + 25$

$0 > x^2 -6x + 5$

$x^2 - 6x + 5 < 0$

$(x-1)(x-5) < 0$

$1 < x < 5$

$x \geq -\frac{5}{4}$ と $1 < x < 5$ を合わせると、$1 < x < 5$ が解となります。

3. 最終的な答え

$1 < x < 5$