関数 $y = ax + b$ ($a > 0$) の逆関数が $y = ax + 3$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

代数学一次関数逆関数連立方程式関数
2025/7/22

1. 問題の内容

関数 y=ax+by = ax + b (a>0a > 0) の逆関数が y=ax+3y = ax + 3 であるとき、定数 aabb の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 y=ax+by = ax + b の逆関数を求めます。
xxyy を入れ替えて、x=ay+bx = ay + b とします。
yy について解くと、
ay=xbay = x - b
y=1axbay = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}
これが与えられた逆関数 y=ax+3y = ax + 3 と一致するので、以下の連立方程式が成り立ちます。
1a=a\frac{1}{a} = a
ba=3-\frac{b}{a} = 3
1つ目の式から a2=1a^2 = 1 が得られます。a>0a > 0 という条件から、a=1a = 1 となります。
2つ目の式に a=1a = 1 を代入すると、b=3-b = 3 より b=3b = -3 となります。

3. 最終的な答え

a=1a = 1, b=3b = -3

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