関数 $f(x) = \frac{bx - 3}{x + a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ のとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

代数学逆関数関数分数関数連立方程式
2025/7/22

1. 問題の内容

関数 f(x)=bx3x+af(x) = \frac{bx - 3}{x + a} の逆関数を f1(x)f^{-1}(x) とする。f1(1)=2f^{-1}(1) = 2f1(3)=0f^{-1}(3) = 0 のとき、定数 a,ba, b の値を求めよ。

2. 解き方の手順

f1(1)=2f^{-1}(1) = 2f(2)=1f(2) = 1 と同値であり、f1(3)=0f^{-1}(3) = 0f(0)=3f(0) = 3 と同値である。したがって、以下の2つの式が得られる。
f(2)=2b32+a=1f(2) = \frac{2b - 3}{2 + a} = 1
f(0)=b(0)30+a=3f(0) = \frac{b(0) - 3}{0 + a} = 3
これらの式を整理すると、以下のようになる。
2b3=2+a2b - 3 = 2 + a
3=3a-3 = 3a
2番目の式から aa の値を求める。
3a=33a = -3 より、
a=1a = -1
この値を1番目の式に代入する。
2b3=2+(1)2b - 3 = 2 + (-1)
2b3=12b - 3 = 1
2b=42b = 4
b=2b = 2

3. 最終的な答え

a=1a = -1
b=2b = 2

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