$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項が $1$ で公比が $2x$ の等比級数です。

等比級数の和は、公比の絶対値が $1$ より小さい場合に収束し、その和は $\frac{\text{初項}}{1 - \text{公比}}$ で求められます。

この問題では、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ であるため、

$|2x| < 1$ となり、級数は収束します。

したがって、無限等比級数の和は、

$$\frac{1}{1 - 2x}$$

で求められます。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$