与えられた関数の微分を求める問題です。 (18) $\arcsin(ax)$ の微分 (19) $\arccos(ax)$ の微分 (20) $\arctan(ax)$ の微分 (21) $\frac{1}{x}$ の微分 (22) $x^{-1}$ の微分

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求める問題です。

(18) $\arcsin(ax)$ の微分

(19) $\arccos(ax)$ の微分

(20) $\arctan(ax)$ の微分

(21) $\frac{1}{x}$ の微分

(22) $x^{-1}$ の微分

2. 解き方の手順

(18) $\arcsin(ax)$ の微分

$\arcsin(x)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

合成関数の微分を使うと、$\arcsin(ax)$ の微分は以下のようになります。

$\frac{d}{dx} \arcsin(ax) = \frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(ax) = \frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}} \cdot a = \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}$

(19) $\arccos(ax)$ の微分

$\arccos(x)$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

合成関数の微分を使うと、$\arccos(ax)$ の微分は以下のようになります。

$\frac{d}{dx} \arccos(ax) = -\frac{1}{\sqrt{1-(ax)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(ax) = -\frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}} \cdot a = -\frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}$

(20) $\arctan(ax)$ の微分

$\arctan(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。

合成関数の微分を使うと、$\arctan(ax)$ の微分は以下のようになります。

$\frac{d}{dx} \arctan(ax) = \frac{1}{1+(ax)^2} \cdot \frac{d}{dx}(ax) = \frac{1}{1+a^2x^2} \cdot a = \frac{a}{1+a^2x^2}$

(21) $\frac{1}{x}$ の微分

$\frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = \frac{d}{dx} (x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

(22) $x^{-1}$ の微分

$\frac{d}{dx} (x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

3. 最終的な答え

(18) $\frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}$

(19) $-\frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}$

(20) $\frac{a}{1+a^2x^2}$

(21) $-\frac{1}{x^2}$

(22) $-\frac{1}{x^2}$