問題は、極限 $\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a} + \sqrt{e})^2}$ が存在し、その値が0でないためには、なぜ $2-m = 0$ である必要があるのかを問うています。

1. 問題の内容

問題は、極限

$\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{2(\sqrt{a} + \sqrt{e})^2}$

が存在し、その値が0でないためには、なぜ $2-m = 0$ である必要があるのかを問うています。

2. 解き方の手順

まず、分母を簡略化します。$a \to e$ のとき、$\sqrt{a} \to \sqrt{e}$ なので、

$\lim_{a \to e} 2(\sqrt{a} + \sqrt{e})^2 = 2(\sqrt{e} + \sqrt{e})^2 = 2(2\sqrt{e})^2 = 2(4e) = 8e$

となります。したがって、極限は

$\lim_{a \to e} \frac{(a-e)^{2-m}}{8e}$

と書き換えられます。

この極限が存在して0でないためには、分子 $(a-e)^{2-m}$ が、$a \to e$ のとき、ある定数に収束する必要があります。

* $2-m > 0$ の場合、つまり $m < 2$ の場合：$(a-e)^{2-m}$ は $a \to e$ のとき0に近づくため、極限は0になります。

* $2-m < 0$ の場合、つまり $m > 2$ の場合：$(a-e)^{2-m} = \frac{1}{(a-e)^{m-2}}$ となります。$a \to e$ のとき $(a-e)^{m-2}$ は0に近づくため、極限は発散します。

* $2-m = 0$ の場合、つまり $m = 2$ の場合：$(a-e)^{2-m} = (a-e)^0 = 1$ となります。このとき、極限は $\frac{1}{8e}$ となり、0ではありません。

したがって、極限が存在し、0でないためには、$2-m = 0$ である必要があります。

3. 最終的な答え

極限が存在し、その値が0でないためには、$2-m=0$ である必要があります。なぜなら、$2-m > 0$ のときは極限が0になり、$2-m < 0$ のときは極限が発散してしまうからです。