問題は、極限 $\lim_{a \to b} \frac{(a-b)^{2-m}}{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$ が存在し、その値が0でないためには、なぜ $2-m=0$ である必要があるのかを問うものです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{a \to b} \frac{(a-b)^{2-m}}{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$ が存在し、その値が0でないためには、なぜ $2-m=0$ である必要があるのかを問うものです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を評価します。$a \to b$ のとき、$\sqrt{a} \to \sqrt{b}$ となるので、分母は $2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \to 2(\sqrt{b} + \sqrt{b})^2 = 2(2\sqrt{b})^2 = 8b$ となります。

したがって、極限は以下のようになります。

$$\lim_{a \to b} \frac{(a-b)^{2-m}}{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \lim_{a \to b} \frac{(a-b)^{2-m}}{8b}$$

極限が存在し、その値が0でないためには、$a$ が $b$ に近づくとき、$(a-b)^{2-m}$ が有限のゼロでない値に近づく必要があります。

$2-m > 0$ の場合、つまり $m < 2$ の場合、$a \to b$ のとき、$(a-b)^{2-m} \to 0$ となります。したがって、極限は0になります。

$2-m < 0$ の場合、つまり $m > 2$ の場合、$a \to b$ のとき、$(a-b)^{2-m} = \frac{1}{(a-b)^{m-2}} \to \infty$ となります。したがって、極限は存在しません。

したがって、極限が存在し、その値が0でないためには、$2-m=0$ である必要があります。このとき、$(a-b)^{2-m} = (a-b)^0 = 1$ となり、極限は $\frac{1}{8b}$ となり、これは $b \neq 0$ であれば有限のゼロでない値です。

3. 最終的な答え

極限が存在し、その値が0でないためには、$2-m=0$ である必要がある理由は、$2-m > 0$ なら極限が0になり、$2-m < 0$ なら極限が存在しないからです。$2-m = 0$ のときのみ、有限のゼロでない極限値が得られます。