* (1) $2^7 \times 3^4 \times 6^{-4}$ * (2) $\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[3]{a} \times \sqrt[6]{a}$ * (3) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$ * (4) $(32)^{\frac{2}{5}}$ * (5) $\sqrt[3]{-1}$ * (6) $2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16}$

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1. 問題の内容

この問題は、次の4つの問題で構成されています。

1. **計算問題**:

* (1) $2^7 \times 3^4 \times 6^{-4}$

* (2) $\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[3]{a} \times \sqrt[6]{a}$

* (3) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$

* (4) $(32)^{\frac{2}{5}}$

* (5) $\sqrt[3]{-1}$

* (6) $2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16}$

2. **方程式**: $16^x = 4$ を満たす $x$ の値を求める。

3. **大小比較**: $0.3^2$, $0.3^{-3}$, $(0.3)^0$, $0.3^4$ を小さい順に並べる。

4. **グラフの平行移動**: $y = -2^x$ のグラフを $x$ 方向に 2 だけ平行移動したグラフの式を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 計算問題

* **(1) $2^7 \times 3^4 \times 6^{-4}$**

$6 = 2 \times 3$ なので、

$2^7 \times 3^4 \times (2 \times 3)^{-4} = 2^7 \times 3^4 \times 2^{-4} \times 3^{-4} = 2^{7-4} \times 3^{4-4} = 2^3 \times 3^0 = 8 \times 1 = 8$

* **(2) $\sqrt[4]{a^2} \times \sqrt[3]{a} \times \sqrt[6]{a}$**

指数の形に変換して計算します。

$a^{\frac{2}{4}} \times a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} \times a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{3+2+1}{6}} = a^{\frac{6}{6}} = a^1 = a$

* **(3) $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$**

展開します。

$(a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \times a^{\frac{1}{2}} \times a^{-\frac{1}{2}} + (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^1 + 2 \times a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} + a^{-1} = a + 2 \times a^0 + \frac{1}{a} = a + 2 + \frac{1}{a}$

* **(4) $(32)^{\frac{2}{5}}$**

$32 = 2^5$ なので、

$(2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = 2^2 = 4$

* **(5) $\sqrt[3]{-1}$**

$-1$ を3乗すると $-1$ になる数は $-1$ です。

$\sqrt[3]{-1} = -1$

* **(6) $2\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{16}$**

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = \sqrt[3]{2^3 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$ なので、

$2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} = 0$

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2. 方程式

$16^x = 4$

$16 = 4^2$ なので、$(4^2)^x = 4$。

したがって、$4^{2x} = 4^1$。

よって、$2x = 1$ から $x = \frac{1}{2}$

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3. 大小比較

$0.3^2 = 0.09$

$0.3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{1000}{27} \approx 37.04$

$(0.3)^0 = 1$

$0.3^4 = (0.3^2)^2 = (0.09)^2 = 0.0081$

小さい順に並べると、$0.3^4$, $0.3^2$, $(0.3)^0$, $0.3^{-3}$

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4. グラフの平行移動

$y = -2^x$ のグラフを $x$ 方向に 2 だけ平行移動すると、$x$ を $x-2$ に置き換えます。

よって、$y = -2^{x-2}$

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3. 最終的な答え

1. 計算問題:

* (1) 8

* (2) a

* (3) $a + 2 + \frac{1}{a}$

* (4) 4

* (5) -1

* (6) 0

2. 方程式: $x = \frac{1}{2}$

3. 大小比較: $0.3^4$, $0.3^2$, $(0.3)^0$, $0.3^{-3}$

4. グラフの平行移動: $y = -2^{x-2}$