与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 4 & 3 & 0 \\

5 & 3 & -5 & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 \\

-3 & 0 & 2 & 3

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、3行目で展開します。

$$

\begin{aligned}

det \begin{pmatrix}

2 & 4 & 3 & 0 \\

5 & 3 & -5 & 1 \\

0 & 2 & 0 & 4 \\

-3 & 0 & 2 & 3

\end{pmatrix}

&= 0 \cdot C_{31} + 2 \cdot C_{32} + 0 \cdot C_{33} + 4 \cdot C_{34} \\

&= 2 \cdot C_{32} + 4 \cdot C_{34}

\end{aligned}

$$

ここで $C_{ij}$ は $(i,j)$ 成分の余因子を表します。

$C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot det \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 5 & -5 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{pmatrix} = -1 \cdot (2(-15-2) - 3(15+3) + 0) = -1 \cdot (2(-17) - 3(18)) = -(-34 - 54) = 88$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \cdot det \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 5 & 3 & -5 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix} = -1 \cdot (2(6-0) - 4(10-15) + 3(0+9)) = -1 \cdot (12 + 20 + 27) = -59$

したがって、

$2 \cdot C_{32} + 4 \cdot C_{34} = 2(88) + 4(-59) = 176 - 236 = -60$

3. 最終的な答え

-60