自然数 $n$ について、集合 $A = \{k | k \text{は5で割り切れる自然数}\}$、 $B = \{k | k \text{は6で割り切れる自然数}\}$ と定義する。以下の3つの文について、空欄に「必要十分条件である」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のいずれかを当てはめる問題。 (1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が $10$ で割り切れるための[　　]。 (2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が $2$ で割り切れるための[　　]。 (3) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が $30$ で割り切れるための[　　]。

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、集合 $A = \{k | k \text{は5で割り切れる自然数}\}$、 $B = \{k | k \text{は6で割り切れる自然数}\}$ と定義する。以下の3つの文について、空欄に「必要十分条件である」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のいずれかを当てはめる問題。

(1) $n$ が $A$ に属することは、$n$ が $10$ で割り切れるための[　　]。

(2) $n$ が $B$ に属することは、$n$ が $2$ で割り切れるための[　　]。

(3) $n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が $30$ で割り切れるための[　　]。

2. 解き方の手順

(1)

$n$ が $A$ に属するとは、$n$ が $5$ で割り切れることである。

$n$ が $10$ で割り切れるならば、$n$ は $5$ で割り切れるので、十分条件である。

$n$ が $5$ で割り切れるとき、必ずしも $10$ で割り切れるとは限らない（例えば、 $n=5$）。したがって、必要条件ではない。

したがって、$n$ が $A$ に属することは、$n$ が $10$ で割り切れるための十分条件であるが必要条件ではない。

(2)

$n$ が $B$ に属するとは、$n$ が $6$ で割り切れることである。つまり、$n$ は $2$ と $3$ で割り切れる。

$n$ が $6$ で割り切れるならば、$n$ は $2$ で割り切れるので、十分条件である。

$n$ が $2$ で割り切れるとき、必ずしも $6$ で割り切れるとは限らない（例えば、 $n=2$）。したがって、必要条件ではある。

したがって、$n$ が $B$ に属することは、$n$ が $2$ で割り切れるための必要条件であるが十分条件ではない。

(3)

$n$ が $A \cap B$ に属するとは、$n$ が $5$ で割り切れ、かつ $6$ で割り切れることである。つまり、$n$ は $5$ と $6$ の公倍数である。$5$ と $6$ の最小公倍数は $30$ であるから、$n$ が $A \cap B$ に属するとは、$n$ が $30$ で割り切れることと同値である。

したがって、$n$ が $A \cap B$ に属することは、$n$ が $30$ で割り切れるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要条件であるが十分条件ではない

(3) 必要十分条件である