6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma$ と $\tau$ が与えられています。 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ 以下の問題を解きます。 (1) $\tau \sigma$ を求めよ。 (2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。 (3) $\sigma$ を互換の積で表せ。 (4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求めよ。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma$ と $\tau$ が与えられています。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

以下の問題を解きます。

(1) $\tau \sigma$ を求めよ。

(2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。

(3) $\sigma$ を互換の積で表せ。

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tau \sigma$ の計算

$\tau \sigma$ は写像の合成であり、$\sigma$ を先に作用させた後、$\tau$ を作用させます。

まず、$\sigma$ によって

1 → 2, 2 → 4, 3 → 5, 4 → 6, 5 → 1, 6 → 3

次に、$\tau$ によって

1 → 6, 2 → 1, 3 → 5, 4 → 3, 5 → 4, 6 → 2

したがって、$\tau \sigma$ は次のようになります。

1 → 2 → 1

2 → 4 → 3

3 → 5 → 4

4 → 6 → 2

5 → 1 → 6

6 → 3 → 5

よって、$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ の計算

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ の逆置換 $\sigma^{-1}$ は、上下を入れ替えて、上段を昇順に並べ替えることで求められます。

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

並べ替えると

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\sigma$ を巡回置換で表すと、$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$ となります。

この巡回置換は、互換の積として以下のように表せます。

$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

したがって、$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\text{sgn}(\sigma)$ を求める

$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$ は5個の互換の積で表されています。

置換の符号は、互換の個数が偶数なら1、奇数なら-1となります。

したがって、$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^5 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\text{sgn}(\sigma) = -1$