以下の3つの命題の真偽を判定し、偽である場合には反例を挙げます。 (1) 自然数 $n$ について、$n$ が4の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が8の倍数 (2) $4x = 20 \Rightarrow x = 5$ (3) $x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$

## 51番の問題

1. 問題の内容

以下の3つの命題の真偽を判定し、偽である場合には反例を挙げます。

(1) 自然数 $n$ について、$n$ が4の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が8の倍数

(2) $4x = 20 \Rightarrow x = 5$

(3) $x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$

2. 解き方の手順

(1)

- $n$ が4の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が8の倍数 は偽です。

- 反例：$n = 4$ ($n$ は4の倍数ですが、8の倍数ではありません)

(2)

- $4x = 20$ の両辺を4で割ると、$x = 5$ となります。

- よって、$4x = 20 \Rightarrow x = 5$ は真です。

(3)

- $x^2 = 36$ を満たす $x$ は、$x = 6$ または $x = -6$ です。

- よって、$x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$ は偽です。

- 反例：$x = -6$

3. 最終的な答え

(1) 偽 (反例：$n = 4$)

(2) 真

(3) 偽 (反例：$x = -6$)

## 53番の問題

1. 問題の内容

以下の2つの命題において、$x^2 = 4$ が $x = 2$ であるため、および $2x = 6$ が $x = 3$ であるための何条件であるかを答えます。

2. 解き方の手順

(1)

- $x^2 = 4$ を満たす $x$ は、$x = 2$ または $x = -2$ です。

- よって、$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ は偽です。

- しかし、$x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$ は真です。

- したがって、$x^2 = 4$ は $x = 2$ であるための必要条件です。

(2)

- $2x = 6$ の両辺を2で割ると、$x = 3$ となります。

- よって、$2x = 6 \Rightarrow x = 3$ は真であり、$x = 3 \Rightarrow 2x = 6$ も真です。

- したがって、$2x = 6$ は $x = 3$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件

(2) 必要十分条件

## 54番の問題

1. 問題の内容

次の2つの命題の真偽を調べます。

(1) $-1 < x < 2 \Rightarrow 1 < x < 4$

(2) $3 \leq x \leq 5 \Rightarrow 1 < x < 6$

2. 解き方の手順

(1)

- $-1 < x < 2$ を満たす $x$ が、$1 < x < 4$ を満たすとは限りません。例えば、$x = 0$ は $-1 < x < 2$ を満たしますが、$1 < x < 4$ を満たしません。したがって、命題は偽です。

(2)

- $3 \leq x \leq 5$ を満たす任意の $x$ は、$1 < x < 6$ も満たします。したがって、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真