問題は3つのパートに分かれています。 * パート1：与えられた数列の一般項を推定する。 * パート2：与えられた数式の値を計算する。 * パート3：等差数列と等比数列の一般項と初項から第5項までの和を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

* パート1：与えられた数列の一般項を推定する。

* パート2：与えられた数式の値を計算する。

* パート3：等差数列と等比数列の一般項と初項から第5項までの和を求める。

2. 解き方の手順

1. パート1

* (1) $1, 8, 27, 64, 125, ...$ は、$1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, ...$ であることから、一般項は $a_n = n^3$ と推定できます。

* (2) $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, ...$ は、$\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, ...$ と見なせることから、一般項は $a_n = \sqrt{n}$ と推定できます。

* (3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$ は、$\frac{1}{2^1}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, ...$ であることから、一般項は $a_n = \frac{1}{2^n}$ と推定できます。

2. パート2

* (1) $a_n = -n^2 + n + 1$ の第3項は、$a_3$ を求めればよいので、

$a_3 = -(3)^2 + 3 + 1 = -9 + 3 + 1 = -5$

* (2) $\sum_{k=1}^{5} (2k+2)$

$= (2(1)+2) + (2(2)+2) + (2(3)+2) + (2(4)+2) + (2(5)+2)$

$= 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40$

* (3) $\sum_{j=2}^{4} (j^3)$

$= 2^3 + 3^3 + 4^3 = 8 + 27 + 64 = 99$

* (4) $\sum_{k=3}^{10} 2$

これは2を $(10 - 3 + 1) = 8$ 回足し合わせるということなので、

$2 \times 8 = 16$

3. パート3

* (1) 初項 $-4$, 公差 $2$ の等差数列

* 一般項: $a_n = -4 + (n-1)2 = 2n - 6$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{5}{2} (2(-4) + (5-1)2) = \frac{5}{2} (-8 + 8) = 0$

* (2) 初項 $10$, 公差 $-3$ の等差数列

* 一般項: $a_n = 10 + (n-1)(-3) = -3n + 13$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{5}{2} (2(10) + (5-1)(-3)) = \frac{5}{2} (20 - 12) = \frac{5}{2} (8) = 20$

* (3) 初項 $-4$, 公比 $2$ の等比数列

* 一般項: $a_n = -4 \times 2^{n-1}$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{-4(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{-4(1 - 32)}{-1} = \frac{-4(-31)}{-1} = -124$

* (4) 初項 $10$, 公比 $-3$ の等比数列

* 一般項: $a_n = 10 \times (-3)^{n-1}$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{10(1 - (-3)^5)}{1 - (-3)} = \frac{10(1 - (-243))}{4} = \frac{10(244)}{4} = \frac{2440}{4} = 610$

3. 最終的な答え

1. パート1

* (1) $a_n = n^3$

* (2) $a_n = \sqrt{n}$

* (3) $a_n = \frac{1}{2^n}$

2. パート2

* (1) $-5$

* (2) $40$

* (3) $99$

* (4) $16$

3. パート3

* (1) 一般項: $a_n = 2n - 6$, 和: $0$

* (2) 一般項: $a_n = -3n + 13$, 和: $20$

* (3) 一般項: $a_n = -4 \times 2^{n-1}$, 和: $-124$

* (4) 一般項: $a_n = 10 \times (-3)^{n-1}$, 和: $610$