$N$次正方行列 $A$ が対角化可能であると仮定する。すなわち、正則な$N$次正方行列 $V$ と $N$次対角行列 $D$ が存在して、$D = V^{-1}AV$ が成り立つとする。このとき、$A^t = VD^tV^{-1}$ が成り立つことを示す。ここで、$A^t$ は $A$ を $t$ 個掛け合わせたものである。

1. 問題の内容

$N$次正方行列 $A$ が対角化可能であると仮定する。すなわち、正則な$N$次正方行列 $V$ と $N$次対角行列 $D$ が存在して、$D = V^{-1}AV$ が成り立つとする。このとき、$A^t = VD^tV^{-1}$ が成り立つことを示す。ここで、$A^t$ は $A$ を $t$ 個掛け合わせたものである。

2. 解き方の手順

まず、$A = VDV^{-1}$ であることを確認する。これは、$D = V^{-1}AV$ の両辺に左から $V$、右から $V^{-1}$ を掛けることで得られる。

$A^t$ を計算するために、$A^2$ を計算してみる。

$A^2 = A \cdot A = (VDV^{-1})(VDV^{-1}) = VD(V^{-1}V)DV^{-1} = VDDV^{-1} = VD^2V^{-1}$

次に、$A^3$ を計算してみる。

$A^3 = A^2 \cdot A = (VD^2V^{-1})(VDV^{-1}) = VD^2(V^{-1}V)DV^{-1} = VD^2DDV^{-1} = VD^3V^{-1}$

これらの結果から、$A^t = VD^tV^{-1}$ が成り立つと推測できる。これを数学的帰納法で証明する。

(1) $t=1$ のとき：

$A^1 = A = VDV^{-1}$ であるから、$t=1$ のとき成立する。

(2) $t=k$ のとき、$A^k = VD^kV^{-1}$ が成り立つと仮定する。

(3) $t=k+1$ のとき：

$A^{k+1} = A^k \cdot A = (VD^kV^{-1})(VDV^{-1}) = VD^k(V^{-1}V)DV^{-1} = VD^kDDV^{-1} = VD^{k+1}V^{-1}$

したがって、$t=k+1$ のときも成立する。

よって、数学的帰納法により、$A^t = VD^tV^{-1}$ がすべての正の整数 $t$ に対して成り立つ。

3. 最終的な答え

$A^t = VD^tV^{-1}$