与えられた2次関数のグラフと$x$軸との共有点を調べ、共有点を持つ場合はその$x$座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフと$x$軸との共有点を調べ、共有点を持つ場合はその$x$座標を求める。

2. 解き方の手順

2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸との共有点は、$y=0$とした2次方程式$ax^2+bx+c=0$の実数解に対応する。

実数解の個数は、判別式$D=b^2-4ac$によって決まる。

$D > 0$のとき、異なる2つの共有点を持つ。

$D = 0$のとき、1つの共有点（重解）を持つ。

$D < 0$のとき、共有点を持たない。

共有点を持つ場合は、$ax^2+bx+c=0$を解いて$x$座標を求める。

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2}$

$y = 0$とおくと、$\frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} = 0$。

両辺に2をかけて、$x^2 - 6x + 9 = 0$。

これは$(x-3)^2 = 0$と変形できる。

したがって、$x = 3$（重解）。

よって、共有点は1つで、$x$座標は3。

(2) $y = 3x^2 - 18x + 29$

$y = 0$とおくと、$3x^2 - 18x + 29 = 0$。

判別式$D = (-18)^2 - 4(3)(29) = 324 - 348 = -24 < 0$。

したがって、共有点を持たない。

(3) $y = -4x^2 + 20x - 5$

$y = 0$とおくと、$-4x^2 + 20x - 5 = 0$。

判別式$D = (20)^2 - 4(-4)(-5) = 400 - 80 = 320 > 0$。

したがって、異なる2つの共有点を持つ。

$-4x^2 + 20x - 5 = 0$を解くために、両辺を-1倍して$4x^2 - 20x + 5 = 0$。

解の公式より、$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(4)(5)}}{2(4)} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 80}}{8} = \frac{20 \pm \sqrt{320}}{8} = \frac{20 \pm 8\sqrt{5}}{8} = \frac{5 \pm 2\sqrt{5}}{2}$。

よって、共有点は2つで、$x$座標は$\frac{5 + 2\sqrt{5}}{2}$と$\frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 共有点あり。$x = 3$

(2) 共有点なし。

(3) 共有点あり。$x = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{2}, \frac{5 - 2\sqrt{5}}{2}$