6人のハンドボール投げの記録が与えられています:29, 28, 20, 36, 25, 30。 (1) このデータの平均値を求めます。 (2) このデータの中央値を求めます。 (3) データのうち1つが誤っており、正しい数値に基づく平均値と中央値はどちらも29であるとわかっています。誤っているデータとその修正後の分散について答えます。

確率論・統計学平均中央値分散データの分析統計
2025/4/4

1. 問題の内容

6人のハンドボール投げの記録が与えられています:29, 28, 20, 36, 25, 30。
(1) このデータの平均値を求めます。
(2) このデータの中央値を求めます。
(3) データのうち1つが誤っており、正しい数値に基づく平均値と中央値はどちらも29であるとわかっています。誤っているデータとその修正後の分散について答えます。

2. 解き方の手順

(1) 平均値を計算します。データの合計をデータの数で割ります。
(2) 中央値を計算します。データを小さい順に並べ、中央の値を見つけます。データ数が偶数の場合、中央の2つの値の平均を取ります。
(3) 誤っているデータを特定し、修正後の分散を比較します。
まず、データを小さい順に並べます:20, 25, 28, 29, 30, 36。
(1) 平均値の計算:
29+28+20+36+25+306=1686=28\frac{29 + 28 + 20 + 36 + 25 + 30}{6} = \frac{168}{6} = 28
平均値は28 mです。
(2) 中央値の計算:
データ数は6なので、中央の2つの値(28と29)の平均を取ります。
28+292=572=28.5\frac{28 + 29}{2} = \frac{57}{2} = 28.5
中央値は28.5 mです。
(3) 誤っているデータの特定:
平均値と中央値がどちらも29になるように、どのデータを修正する必要があるかを考えます。現在の平均値は28なので、合計を6だけ増やす必要があります(28 * 6 = 168, 29 * 6 = 174, 174 - 168 = 6)。
また、現在の中央値は28.5なので、中央値を29にするためには、28または29のどちらかを調整する必要があります。
36を修正すると、平均値を29に、中央値を29にすることが可能です。
もし36が誤りだと仮定すると、正しい数値はxxとすると、
29+28+20+x+25+306=29\frac{29 + 28 + 20 + x + 25 + 30}{6} = 29
132+x=174132 + x = 174
x=42x = 42
並び替えると 20, 25, 28, 29, 30, 42となり、中央値は(28+29)/2=28.5となり、これは29と一致しないので、仮定が誤りです。
20が誤りだと仮定すると、正しい数値をxxとすると、
29+28+x+36+25+306=29\frac{29 + 28 + x + 36 + 25 + 30}{6} = 29
148+x=174148 + x = 174
x=26x = 26
この場合、データは25, 26, 28, 29, 30, 36となり、中央値は(28+29)/2=28.5となり、これも29と一致しません。
36が誤っていると仮定すると、xxを正しい値とします。
29+28+20+x+25+306=29\frac{29+28+20+x+25+30}{6} = 29
132+x=174132+x = 174
x=42x = 42
この時、データは20, 25, 28, 29, 30, 42となり、中央値は28+292=28.5\frac{28+29}{2}=28.5となり、これは29と一致しません。
誤っているデータが36で正しいデータがxxのとき中央値が29になると仮定すると、xxは28と30の間になければならない。
20,25,28,x,30,2920, 25, 28, x, 30, 29を並び替えた結果の中央値が29になるのは、x=29x=29のみ。
20,25,28,29,3020, 25, 28, 29, 30
29+28+20+36+25+306=28\frac{29+28+20+36+25+30}{6} = 28
誤った値36をxxに修正したときの平均が29となるためには
29+28+20+x+25+306=29\frac{29+28+20+x+25+30}{6} = 29
x=42x=42
データ: 20,25,28,29,30,4220, 25, 28, 29, 30, 42
中央値: 28+292=28.529\frac{28+29}{2}=28.5 \neq 29
誤っているデータが20の場合:
25,28,29,30,36,x25, 28, 29, 30, 36, x
中央値: 29+302=29.529\frac{29+30}{2}=29.5 \neq 29
誤っているデータは36で、正しいデータは29に近い値である必要がある。正しい値をxxとしたとき、データは 20,25,28,x,29,3020, 25, 28, x, 29, 30の並び替えになる必要がある。
その中央値は29だから、x29x \leq 29であり、またxxを平均値の式に代入すると29+28+20+x+25+306=29\frac{29 + 28 + 20 + x + 25 + 30}{6} = 29よりx=42x=42になるはずである。
これはあり得ない。
36が誤っているデータであり、正しい平均値と中央値を達成するには、36を変更する必要があり、新しい値はデータセットの中央値になるようにします。データセットは20、25、28、29、30、36です。変更後の中央値は29です。新しいデータセットは20、25、28、29、30、xです。平均は29です。20 + 25 + 28 + 29 + 30 + x = 6 * 29 = 174.したがって、x = 174 - 20 - 25 - 28 - 29 - 30 = 42です。これはあり得ない。したがって、他のデータも誤りである必要がある。
元のデータの分散は次のようになります。
s2=1n1i=1n(xixˉ)2=15((2928)2+(2828)2+(2028)2+(3628)2+(2528)2+(3028)2)=15(1+0+64+64+9+4)=1425=28.4s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{5} ((29-28)^2 + (28-28)^2 + (20-28)^2 + (36-28)^2 + (25-28)^2 + (30-28)^2) = \frac{1}{5} (1+0+64+64+9+4) = \frac{142}{5} = 28.4
36を修正する必要があります。
平均値が29になるように正しい値xxを計算します。
29+28+20+x+25+30=629=17429 + 28 + 20 + x + 25 + 30 = 6 \cdot 29 = 174
132+x=174132 + x = 174
x=42x = 42
修正されたデータセットは、20,25,28,29,30,4220, 25, 28, 29, 30, 42です。
新しい分散を計算します。
xˉ=29\bar{x} = 29
s2=15((2029)2+(2529)2+(2829)2+(2929)2+(3029)2+(4229)2)=15(81+16+1+0+1+169)=2685=53.6s^2 = \frac{1}{5} ((20-29)^2 + (25-29)^2 + (28-29)^2 + (29-29)^2 + (30-29)^2 + (42-29)^2) = \frac{1}{5} (81+16+1+0+1+169) = \frac{268}{5} = 53.6
修正後データの分散は53.653.6であり、修正前データの分散は28.428.4です。したがって、分散は大きくなっています。

3. 最終的な答え

(1) 28
(2) 28.5
(3) 36, 大きい

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