## 2. (1) 問題の内容

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2. (1) 問題の内容

3つの数 $2\sqrt{3}$, $3\sqrt{2}$, $4$ を小さい順に並べよ。

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2. (1) 解き方の手順

まず、各数を二乗して比較しやすい形にする。

* $(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$

* $(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$

* $4^2 = 16$

二乗した結果を比較すると、$12 < 16 < 18$ であるから、$2\sqrt{3} < 4 < 3\sqrt{2}$。

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2. (1) 最終的な答え

$2\sqrt{3}, 4, 3\sqrt{2}$

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2. (2) 問題の内容

$3 < \sqrt{5a} < 4$ を満たす自然数 $a$ の値をすべて求めよ。

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2. (2) 解き方の手順

不等式の各辺を二乗する。

$3^2 < (\sqrt{5a})^2 < 4^2$

$9 < 5a < 16$

各辺を5で割る。

$\frac{9}{5} < a < \frac{16}{5}$

$1.8 < a < 3.2$

この範囲にある自然数 $a$ は、2と3である。

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2. (2) 最終的な答え

$a = 2, 3$

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2. (3) 問題の内容

$2\sqrt{6} < \sqrt{x} < 3\sqrt{3}$ を満たす自然数 $x$ の値をすべて求めよ。

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2. (3) 解き方の手順

不等式の各辺を二乗する。

$(2\sqrt{6})^2 < (\sqrt{x})^2 < (3\sqrt{3})^2$

$4 \times 6 < x < 9 \times 3$

$24 < x < 27$

この範囲にある自然数 $x$ は、25と26である。

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2. (3) 最終的な答え

$x = 25, 26$

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2. (4) 問題の内容

$4\sqrt{5}$ の整数部分の値を求めよ。

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2. (4) 解き方の手順

$\sqrt{5}$ のおおよその値を考える。$\sqrt{4} = 2$ で $\sqrt{9} = 3$ であるから、$2 < \sqrt{5} < 3$ である。より詳しく、$2.2^2 = 4.84$, $2.3^2 = 5.29$ より、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ である。

したがって、$4\sqrt{5}$ は $4 \times 2.2 = 8.8$ と $4 \times 2.3 = 9.2$ の間にある。

$4\sqrt{5} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{80}$

$\sqrt{64} = 8$ で $\sqrt{81} = 9$ であるから、$8 < \sqrt{80} < 9$ である。

したがって、$4\sqrt{5}$ の整数部分は8である。

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2. (4) 最終的な答え

8

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3. (1) 問題の内容

縦15cm, 横27cmの長方形と同じ面積の正方形の1辺の長さを求めよ。

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3. (1) 解き方の手順

長方形の面積は、縦 x 横 = $15 \times 27 = 405$ 平方cm。

正方形の1辺の長さを $x$ とすると、正方形の面積は $x^2$ で表される。

したがって、$x^2 = 405$。

$x = \sqrt{405} = \sqrt{81 \times 5} = 9\sqrt{5}$

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3. (1) 最終的な答え

$9\sqrt{5}$ cm

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3. (2) 問題の内容

$\sqrt{96a}$ を整数にする最小の自然数 $a$ の値を求めよ。

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3. (2) 解き方の手順

$96$ を素因数分解する。

$96 = 2^5 \times 3$

$\sqrt{96a} = \sqrt{2^5 \times 3 \times a}$

$\sqrt{96a}$ が整数になるためには、根号の中が何かの二乗になればよい。

$2^5 \times 3$ に $2 \times 3$ を掛ければ $2^6 \times 3^2$ となり、平方数になる。

したがって、$a = 2 \times 3 = 6$

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3. (2) 最終的な答え

$a = 6$

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3. (3) 問題の内容

$\sqrt{21-4n}$ を整数にする自然数 $n$ の値をすべて求めよ。

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3. (3) 解き方の手順

$\sqrt{21-4n}$ が整数になるためには、$21-4n$ が0以上の平方数である必要がある。

$21-4n \geq 0$ より $4n \leq 21$ なので $n \leq \frac{21}{4} = 5.25$

$n$ は自然数なので、$n = 1, 2, 3, 4, 5$ である。

* $n = 1$ のとき、$21 - 4(1) = 17$ (平方数ではない)

* $n = 2$ のとき、$21 - 4(2) = 13$ (平方数ではない)

* $n = 3$ のとき、$21 - 4(3) = 9 = 3^2$ (平方数)

* $n = 4$ のとき、$21 - 4(4) = 5$ (平方数ではない)

* $n = 5$ のとき、$21 - 4(5) = 1 = 1^2$ (平方数)

したがって、$n = 3, 5$

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3. (3) 最終的な答え

$n = 3, 5$