等比数列をなす3つの実数があり、それらの和が19、積が216である。この3つの実数を求める。

1. 問題の内容

等比数列をなす3つの実数があり、それらの和が19、積が216である。この3つの実数を求める。

2. 解き方の手順

3つの実数を $a/r$, $a$, $ar$ とおく。ここで、$a$ は実数、$r$ は公比を表す。

問題文より、

和について:

$\frac{a}{r} + a + ar = 19$

積について:

$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = a^3 = 216$

積の式から $a$ を求める。

$a^3 = 216$ なので、$a = \sqrt[3]{216} = 6$

$a = 6$ を和の式に代入する。

$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$

$\frac{6}{r} + 6r = 13$

両辺に $r$ をかける。

$6 + 6r^2 = 13r$

$6r^2 - 13r + 6 = 0$

この2次方程式を解く。

$(2r - 3)(3r - 2) = 0$

よって、$r = \frac{3}{2}$ または $r = \frac{2}{3}$

(i) $a=6$, $r=\frac{3}{2}$ のとき

3つの実数は $\frac{6}{\frac{3}{2}} = 4$, $6$, $6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ である。

(ii) $a=6$, $r=\frac{2}{3}$ のとき

3つの実数は $\frac{6}{\frac{2}{3}} = 9$, $6$, $6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ である。

どちらの場合でも、3つの実数は 4, 6, 9 である。

3. 最終的な答え

4, 6, 9