特殊直交行列 $T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} \in SO(3)$ が与えられている。この行列が表す回転の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。

1. 問題の内容

特殊直交行列 $T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} \in SO(3)$ が与えられている。この行列が表す回転の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。

2. 解き方の手順

回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ は、$T \vec{l} = \vec{l}$ を満たす単位ベクトルとして求められる。つまり、$T$ の固有値1に対応する固有ベクトルを求める。

$\cos \theta$ は、回転行列 $T$ のトレースを用いて計算できる。

$Tr(T) = 1 + 2 \cos \theta$ という関係式がある。

まず、固有ベクトルを求めるために、$(T - I) \vec{l} = \vec{0}$ を解く。

$T - I = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6-11 & 6 & -7 \\ -9 & 2-11 & -6 \\ -2 & 9 & 6-11 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} -5 & 6 & -7 \\ -9 & -9 & -6 \\ -2 & 9 & -5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -5 & 6 & -7 \\ -9 & -9 & -6 \\ -2 & 9 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立一次方程式を解く。

$-5x + 6y - 7z = 0$

$-9x - 9y - 6z = 0$

$-2x + 9y - 5z = 0$

2番目の式を3で割ると、

$-3x - 3y - 2z = 0$

最初の式と3番目の式を足すと

$-7x + 15y - 12z = 0$

$-3x - 3y = 2z$ から $z = -\frac{3}{2} (x+y)$

$-5x + 6y + \frac{21}{2} (x+y) = 0$

$-10x + 12y + 21x + 21y = 0$

$11x + 33y = 0$

$x = -3y$

したがって、

$z = -\frac{3}{2} (-3y + y) = -\frac{3}{2} (-2y) = 3y$

$\vec{l} = \begin{pmatrix} -3y \\ y \\ 3y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{l}$ を単位ベクトルにするために、

$(-3)^2 + 1^2 + 3^2 = 9 + 1 + 9 = 19$

$|\vec{l}| = \sqrt{19}$

したがって、

$\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に、$\cos \theta$ を計算する。

$Tr(T) = \frac{1}{11}(6 + 2 + 6) = \frac{14}{11}$

$\frac{14}{11} = 1 + 2 \cos \theta$

$2 \cos \theta = \frac{14}{11} - 1 = \frac{3}{11}$

$\cos \theta = \frac{3}{22}$

3. 最終的な答え

回転軸の方向ベクトル $\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

回転角の余弦 $\cos \theta = \frac{3}{22}$