与えられた10個の式を部分分数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の式を部分分数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x(x-1)}$

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$ と置きます。両辺に $x(x-1)$ を掛けると、

$1 = A(x-1) + Bx$ となります。

$x=0$ のとき、$1 = -A$ より $A = -1$ です。

$x=1$ のとき、$1 = B$ より $B = 1$ です。

したがって、$\frac{1}{x(x-1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$ です。

(2) $\frac{1}{(x-1)(x+2)}$

$\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$ と置きます。両辺に $(x-1)(x+2)$ を掛けると、

$1 = A(x+2) + B(x-1)$ となります。

$x=1$ のとき、$1 = 3A$ より $A = \frac{1}{3}$ です。

$x=-2$ のとき、$1 = -3B$ より $B = -\frac{1}{3}$ です。

したがって、$\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1/3}{x-1} - \frac{1/3}{x+2} = \frac{1}{3}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2})$ です。

(3) $\frac{4}{x^2-4}$

$\frac{4}{x^2-4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$ と置きます。両辺に $(x-2)(x+2)$ を掛けると、

$4 = A(x+2) + B(x-2)$ となります。

$x=2$ のとき、$4 = 4A$ より $A = 1$ です。

$x=-2$ のとき、$4 = -4B$ より $B = -1$ です。

したがって、$\frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$ です。

(4) $\frac{3x+4}{x^2+x-6}$

$\frac{3x+4}{x^2+x-6} = \frac{3x+4}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$ と置きます。両辺に $(x+3)(x-2)$ を掛けると、

$3x+4 = A(x-2) + B(x+3)$ となります。

$x=-3$ のとき、$-5 = -5A$ より $A = 1$ です。

$x=2$ のとき、$10 = 5B$ より $B = 2$ です。

したがって、$\frac{3x+4}{x^2+x-6} = \frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-2}$ です。

(5) $\frac{2x-1}{x^2-x-2}$

$\frac{2x-1}{x^2-x-2} = \frac{2x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$ と置きます。両辺に $(x-2)(x+1)$ を掛けると、

$2x-1 = A(x+1) + B(x-2)$ となります。

$x=2$ のとき、$3 = 3A$ より $A = 1$ です。

$x=-1$ のとき、$-3 = -3B$ より $B = 1$ です。

したがって、$\frac{2x-1}{x^2-x-2} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+1}$ です。

(6) $\frac{12-x}{x(x-3)(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} + \frac{C}{x-4}$ と置きます。

$12-x = A(x-3)(x-4) + Bx(x-4) + Cx(x-3)$

$x=0$ のとき $12 = 12A$ より $A=1$

$x=3$ のとき $9 = -3B$ より $B=-3$

$x=4$ のとき $8 = 4C$ より $C=2$

したがって、$\frac{12-x}{x(x-3)(x-4)} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x-3} + \frac{2}{x-4}$

(7) $\frac{x+3}{x(x^2-1)} = \frac{x+3}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$

$x+3 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$

$x=0$ のとき $3 = -A$ より $A = -3$

$x=1$ のとき $4 = 2B$ より $B = 2$

$x=-1$ のとき $2 = 2C$ より $C = 1$

したがって、$\frac{x+3}{x(x^2-1)} = -\frac{3}{x} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1}$

(8) $\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

$3x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$

$x=1$ のとき $4 = 2A$ より $A=2$

$3x+1 = 2(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) = 2x^2 + 2 + Bx^2 -Bx + Cx -C$

$3x+1 = (2+B)x^2 + (C-B)x + 2-C$

$2+B=0$ より $B=-2$

$C-B = 3$ より $C-(-2)=3$ よって $C=1$

$2-C = 1$ よって $C=1$

したがって、$\frac{3x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{2}{x-1} + \frac{-2x+1}{x^2+1}$

(9) 因数分解できません。

(10) $\frac{4x^2}{(1+x)(1-x)(1+x^2)} = \frac{4x^2}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{4x^2}{1-x^4}$

$\frac{4x^2}{(1+x)(1-x)(1+x^2)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-x} + \frac{Cx+D}{1+x^2}$

$4x^2 = A(1-x)(1+x^2) + B(1+x)(1+x^2) + (Cx+D)(1-x^2)$

$x = -1$ のとき $4 = 4A$ より $A = 1$

$x = 1$ のとき $4 = 4B$ より $B = 1$

$4x^2 = (1-x)(1+x^2) + (1+x)(1+x^2) + (Cx+D)(1-x^2) = 1+x^2-x-x^3 + 1+x^2+x+x^3 + Cx+D-Cx^3-Dx^2 = 2+2x^2 + Cx+D - Cx^3-Dx^2$

$4x^2 = -Cx^3 + (2-D)x^2 + Cx + D+2$

$C=0$

$2-D=4$ より $D=-2$

$0=0$

$D+2=0$ より $D=-2$

したがって $\frac{4x^2}{(1+x)(1-x)(1+x^2)} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} + \frac{-2}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

(2) $\frac{1}{3}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2})$

(3) $\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$

(4) $\frac{1}{x+3} + \frac{2}{x-2}$

(5) $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+1}$

(6) $\frac{1}{x} - \frac{3}{x-3} + \frac{2}{x-4}$

(7) $-\frac{3}{x} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1}$

(8) $\frac{2}{x-1} + \frac{-2x+1}{x^2+1}$

(9) 因数分解できません。

(10) $\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} - \frac{2}{1+x^2}$