与えられた不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、実数 $a, b$ を $a = 2\sqrt{13} - \text{ア}$, $b = \frac{1}{a}$ と定める。このとき、$b$ を $\frac{\text{イ} + 2\sqrt{13}}{\text{ウ}}$ の形で表し、さらに $a^2 - 9b^2 = \text{エオカ}\sqrt{13}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求め、実数 $a, b$ を $a = 2\sqrt{13} - \text{ア}$, $b = \frac{1}{a}$ と定める。このとき、$b$ を $\frac{\text{イ} + 2\sqrt{13}}{\text{ウ}}$ の形で表し、さらに $a^2 - 9b^2 = \text{エオカ}\sqrt{13}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2\sqrt{13}$ の値の見当をつける。$\sqrt{13}$ は $\sqrt{9} = 3$ と $\sqrt{16} = 4$ の間にあるので、$3 < \sqrt{13} < 4$。

さらに、 $3.5^2 = 12.25$ より、$3.5 < \sqrt{13} < 4$ であることがわかる。

より正確に、$3.6^2 = 12.96$ なので、$3.6 < \sqrt{13} < 4$。

$2\sqrt{13}$ は $7.2$ と $8$ の間にある。

$3.605^2 = 12.996$

$3.606^2 = 13.0032$

$2\sqrt{13} \approx 7.211$

したがって、$n < 2\sqrt{13} < n+1$ を満たす整数 $n$ は 7。

アを求める。

$a = 2\sqrt{13} - 7$

イとウを求める。

$b = \frac{1}{a} = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7}$

$b = \frac{1}{2\sqrt{13} - 7} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13} - 7)(2\sqrt{13} + 7)} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{(2\sqrt{13})^2 - 7^2} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{4 \cdot 13 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{52 - 49} = \frac{2\sqrt{13} + 7}{3}$

エオカを求める。

$a^2 - 9b^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 - 9 (\frac{2\sqrt{13} + 7}{3})^2 = (2\sqrt{13} - 7)^2 - (2\sqrt{13} + 7)^2$

$= (52 - 28\sqrt{13} + 49) - (52 + 28\sqrt{13} + 49) = 101 - 28\sqrt{13} - (101 + 28\sqrt{13}) = -56\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$n = 7$

ア: 7

イ: 7

ウ: 3

エオカ: -56

したがって、

$a^2 - 9b^2 = -56\sqrt{13}$