(3) $\frac{1}{(x+2)(x+5)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x+5}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。 (4) $\frac{7x+1}{x^3+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$ を満たす $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(3) $\frac{1}{(x+2)(x+5)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x+5}$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

(4) $\frac{7x+1}{x^3+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2-x+1}$ を満たす $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3)

与えられた式を変形します。

$\frac{1}{(x+2)(x+5)} = \frac{a(x+5) + b(x+2)}{(x+2)(x+5)}$

分子を比較します。

$1 = a(x+5) + b(x+2)$

$x$ についての恒等式なので、$x$ に適切な値を代入して $a$ と $b$ を求めます。

$x = -2$ のとき、$1 = a(-2+5) + b(-2+2) = 3a$ より、$a = \frac{1}{3}$

$x = -5$ のとき、$1 = a(-5+5) + b(-5+2) = -3b$ より、$b = -\frac{1}{3}$

(4)

与えられた式を変形します。

$\frac{7x+1}{x^3+1} = \frac{a(x^2-x+1) + (bx+c)(x+1)}{x^3+1}$

ここで、$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ を用いました。

分子を比較します。

$7x+1 = a(x^2-x+1) + (bx+c)(x+1)$

$7x+1 = ax^2 - ax + a + bx^2 + bx + cx + c$

$7x+1 = (a+b)x^2 + (-a+b+c)x + (a+c)$

$x$ についての恒等式なので、係数を比較します。

$x^2$ の係数: $a+b = 0$

$x$ の係数: $-a+b+c = 7$

定数項: $a+c = 1$

$a+b = 0$ より、$b = -a$

$a+c = 1$ より、$c = 1-a$

これらを $-a+b+c = 7$ に代入します。

$-a - a + 1 - a = 7$

$-3a = 6$

$a = -2$

$b = -a = -(-2) = 2$

$c = 1-a = 1-(-2) = 3$

3. 最終的な答え

(3) $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{3}$

(4) $a = -2$, $b = 2$, $c = 3$