与えられた3つの複素数の計算問題を解く。 (1) $\frac{5}{i}$ (2) $\frac{2+3i}{1+3i}$ (3) $\frac{2+5i}{1-4i}$

1. 問題の内容

与えられた3つの複素数の計算問題を解く。

(1) $\frac{5}{i}$

(2) $\frac{2+3i}{1+3i}$

(3) $\frac{2+5i}{1-4i}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{5}{i}$ を計算する。分母に $i$ があるので、分母分子に $-i$ を掛けて分母を実数化する。

$\frac{5}{i} = \frac{5 \times (-i)}{i \times (-i)} = \frac{-5i}{-i^2} = \frac{-5i}{-(-1)} = \frac{-5i}{1} = -5i$

(2) $\frac{2+3i}{1+3i}$ を計算する。分母の共役複素数 $1-3i$ を分母分子に掛けて分母を実数化する。

$\frac{2+3i}{1+3i} = \frac{(2+3i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)} = \frac{2 - 6i + 3i - 9i^2}{1 - 9i^2} = \frac{2 - 3i - 9(-1)}{1 - 9(-1)} = \frac{2 - 3i + 9}{1 + 9} = \frac{11 - 3i}{10} = \frac{11}{10} - \frac{3}{10}i$

(3) $\frac{2+5i}{1-4i}$ を計算する。分母の共役複素数 $1+4i$ を分母分子に掛けて分母を実数化する。

$\frac{2+5i}{1-4i} = \frac{(2+5i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)} = \frac{2 + 8i + 5i + 20i^2}{1 - 16i^2} = \frac{2 + 13i + 20(-1)}{1 - 16(-1)} = \frac{2 + 13i - 20}{1 + 16} = \frac{-18 + 13i}{17} = -\frac{18}{17} + \frac{13}{17}i$

3. 最終的な答え

(1) $-5i$

(2) $\frac{11}{10} - \frac{3}{10}i$

(3) $-\frac{18}{17} + \frac{13}{17}i$