画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の6つの問題を解きます。 (1) 図において、$DE // BC$, $AE = 3$ cm, $DE = 2$ cm, $CE = 6$ cm のとき、$BC$の長さを求めます。 (2) 図において、$∠ABC = ∠ACD$, $AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, $CA = 3$ cm のとき、$AD$ の長さを求めます。 (3) 底面の1辺が4cm, 高さ3cmの正四角錐の体積を求めます。 (4) $AB = AC$, $BC = 6$ cm である二等辺三角形$ABC$ の頂角$∠A$の二等分線 $AD$ の長さが4cmのとき、$AB = AC$ の長さを求めます。 (5) 円周上に4点$A, B, C, D$をとり、$AC$ と $BD$ の交点を $E$ とします。$∠ABE = 15°$, $∠BDC = 65°$ のとき、$∠AEB$を求めます。 (6) 半径が3cmの球の体積を求めます。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の6つの問題を解きます。

(1) 図において、$DE // BC$, $AE = 3$ cm, $DE = 2$ cm, $CE = 6$ cm のとき、$BC$の長さを求めます。

(2) 図において、$∠ABC = ∠ACD$, $AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, $CA = 3$ cm のとき、$AD$ の長さを求めます。

(3) 底面の1辺が4cm, 高さ3cmの正四角錐の体積を求めます。

(4) $AB = AC$, $BC = 6$ cm である二等辺三角形$ABC$ の頂角$∠A$の二等分線 $AD$ の長さが4cmのとき、$AB = AC$ の長さを求めます。

(5) 円周上に4点$A, B, C, D$をとり、$AC$ と $BD$ の交点を $E$ とします。$∠ABE = 15°$, $∠BDC = 65°$ のとき、$∠AEB$を求めます。

(6) 半径が3cmの球の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$DE // BC$ より、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$です。したがって、$AE:AC = DE:BC$ が成り立ちます。$AC = AE + EC = 3 + 6 = 9$ cm ですので、$3:9 = 2:BC$ となります。よって、$3 \times BC = 18$ より、$BC = 6$ cm です。

(2)

$\triangle ABC$と$\triangle DCA$において、$∠ABC=∠ACD$、∠BCAは共通。よって、$\triangle ABC \sim \triangle DCA$なので、$AB:DC=BC:CA=CA:AD$。 $CA:AD = BC:CA$より、$3:AD = 4:3$。よって、$4 \times AD = 9$ より、$AD = \frac{9}{4}$ cm です。

(3)

正四角錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ で求められます。底面積は、$4 \times 4 = 16$ cm$^2$ であり、高さは3cmなので、$V = \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16$ cm$^3$ です。

(4)

$\triangle ABC$は$AB=AC$の二等辺三角形であり、$AD$は$∠A$の二等分線なので、$BD = CD = \frac{1}{2} BC = 3$ cmです。$AB = AC = x$とすると、角の二等分線の定理より$AB:AC=BD:DC$となり、これは$AB:AC=BD:CD=x:x=3:3$を意味します。また、三角形ABDで余弦定理を使うと、$BD^2=AB^2+AD^2-2 \times AB \times AD \times \cos(∠BAD)$ となります。三角形ABCで余弦定理を使うと、$BC^2=AB^2+AC^2-2 \times AB \times AC \times \cos(∠BAC)$ となります。

ADは∠BACの二等分線なので、$∠BAD=1/2∠BAC$。

このまま解くのは難しいので別の方法を考えます。

ADは∠BACの二等分線なので$BD:CD = AB:AC$という関係が成り立ちます。この問題では二等辺三角形なので$AB:AC = x:x$。また、$BD:CD=3:3$です。

ここで、スチュワートの定理を用いると、$AB^2 \times CD + AC^2 \times BD = BC \times (AD^2 + BD \times CD)$ が成り立ちます。これに与えられた値を代入すると、$x^2 \times 3 + x^2 \times 3 = 6 \times (4^2 + 3 \times 3)$ となり、$6x^2 = 6(16 + 9) = 6 \times 25$ が得られます。したがって、$x^2 = 25$ となり、$x = 5$ cm です。

(5)

円周角の定理より、$∠BAC = ∠BDC = 65°$です。$\triangle ABE$ において、$∠AEB = 180° - ∠BAE - ∠ABE = 180° - 65° - 15° = 100°$ です。

(6)

球の体積は、$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ で求められます。半径 $r = 3$ cm なので、$V = \frac{4}{3} \pi (3^3) = \frac{4}{3} \pi (27) = 36\pi$ cm$^3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 6 cm

(2) $\frac{9}{4}$ cm

(3) 16 cm$^3$

(4) 5 cm

(5) 100 °

(6) $36\pi$ cm$^3$