$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b$ の形を整理します。$x \to \infty$ の極限を扱うので、$\sqrt{x^2 + 4x}$ を$x$の式で近似することを考えます。

$\sqrt{x^2 + 4x}$ を有理化するために、$\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - ax - b)(\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b)}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{(x^2 + 4x) - (ax + b)^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{x^2 + 4x - (a^2x^2 + 2abx + b^2)}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b} = \frac{(1 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b}$

これが $x \to \infty$ で 3 に収束するためには、$x^2$ の項が消える必要があります。そのため、$1 - a^2 = 0$ でなければなりません。

よって、$a^2 = 1$ となり、$a = \pm 1$ となります。

次に、$a = 1$ の場合を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 - 2b)x - b^2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 - 2b) - \frac{b^2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1 + \frac{b}{x}} = \frac{4 - 2b}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4 - 2b}{2} = 2 - b$

これが 3 に等しくなるので、$2 - b = 3$ より $b = -1$ となります。

次に、$a = -1$ の場合を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} - x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2b)x - b^2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} - x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2b) - \frac{b^2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} - 1 + \frac{b}{x}}$

ここで、$\sqrt{1 + \frac{4}{x}} \approx 1 + \frac{2}{x}$ と近似すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2b) - \frac{b^2}{x}}{1 + \frac{2}{x} - 1 + \frac{b}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2b) - \frac{b^2}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{b}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2b)x - b^2}{2 + b}$

これが有限の値になるためには、$4+2b=0$となり、$b=-2$。すると、$\frac{-b^2}{2+b} = \frac{-4}{0}$ となり、これは定義できない。よって、このケースはありえない。

したがって、$a = 1$ かつ $b = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -1$