次の極限を求める問題です。 $$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}) $$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

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\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})

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2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ に共役な式を掛けます。つまり、$\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}$ を分子と分母に掛けます。

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\begin{aligned}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}) &= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 - 2x + 1})(\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1})}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}}

\end{aligned}

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次に、分子と分母を $x$ で割ります。

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\begin{aligned}

\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}} &= \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}}

\end{aligned}

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$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{3}{x^2} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

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\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{4}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{4}{2} = 2

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3. 最終的な答え

2