$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - ax)$ が収束するような $a$ の値とそのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - ax)$ が収束するような $a$ の値とそのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - ax)$ が有限の値に収束するためには、$x \to \infty$ で $\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$ と $ax$ のオーダーが等しくなければならない。$\sqrt{4x^2 - 3x + 1}$ は $2x$ と同じオーダーであるから、$a=2$ でなければならない。

$a=2$ のとき、

\begin{align*}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x) &= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} - 2x)(\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x)}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 3x + 1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{-3x + 1}{\sqrt{4x^2 - 3x + 1} + 2x} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} \\

&= \frac{-3}{\sqrt{4} + 2} \\

&= \frac{-3}{2 + 2} \\

&= -\frac{3}{4}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき、極限値は $-\frac{3}{4}$ である。