$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ を $\sin x$ と $\cos x$ で表します。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

よって、

$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x - \sin x \cos x}{x^3 \cos x} = \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

次に、$1 - \cos x$ を変形します。

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$

したがって、

$\frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x} = \frac{\sin x (2 \sin^2 \frac{x}{2})}{x^3 \cos x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot (\frac{\sin \frac{x}{2}}{x})^2 \cdot \frac{1}{\cos x}$

ここで、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ ($x \to 0$) と $\cos x \to 1$ ($x \to 0$) を利用します。

$\frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = 1$ より、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} (\frac{\sin \frac{x}{2}}{x})^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 2 \cdot 1 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{1}{1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$