与えられた極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算する問題です。解析学極限三角関数置換加法定理2025/7/231. 問題の内容与えられた極限 limx→π2(x−π2)tanx\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan xlimx→2π(x−2π)tanx を計算する問題です。2. 解き方の手順まず、tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx であることを利用して、与えられた極限を以下のように書き換えます。limx→π2(x−π2)tanx=limx→π2(x−π2)sinxcosx\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}limx→2π(x−2π)tanx=limx→2π(x−2π)cosxsinxここで、x−π2=tx - \frac{\pi}{2} = tx−2π=t と置換すると、x=t+π2x = t + \frac{\pi}{2}x=t+2π となり、x→π2x \to \frac{\pi}{2}x→2π のとき t→0t \to 0t→0 となります。したがって、limx→π2(x−π2)sinxcosx=limt→0tsin(t+π2)cos(t+π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})}limx→2π(x−2π)cosxsinx=limt→0tcos(t+2π)sin(t+2π)三角関数の加法定理より、sin(t+π2)=sintcosπ2+costsinπ2=cost\sin(t + \frac{\pi}{2}) = \sin t \cos \frac{\pi}{2} + \cos t \sin \frac{\pi}{2} = \cos tsin(t+2π)=sintcos2π+costsin2π=cost および cos(t+π2)=costcosπ2−sintsinπ2=−sint\cos(t + \frac{\pi}{2}) = \cos t \cos \frac{\pi}{2} - \sin t \sin \frac{\pi}{2} = -\sin tcos(t+2π)=costcos2π−sintsin2π=−sint であるため、limt→0tsin(t+π2)cos(t+π2)=limt→0tcost−sint=limt→0−tsintcost\lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})} = \lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = \lim_{t \to 0} -\frac{t}{\sin t} \cos tlimt→0tcos(t+2π)sin(t+2π)=limt→0t−sintcost=limt→0−sinttcostlimt→0sintt=1\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1limt→0tsint=1 より、limt→0tsint=1\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1limt→0sintt=1 であることを利用すると、limt→0−tsintcost=−limt→0tsint⋅limt→0cost=−1⋅1=−1\lim_{t \to 0} -\frac{t}{\sin t} \cos t = - \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cdot \lim_{t \to 0} \cos t = -1 \cdot 1 = -1limt→0−sinttcost=−limt→0sintt⋅limt→0cost=−1⋅1=−13. 最終的な答え-1