与えられた極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算する問題です。

解析学極限三角関数置換加法定理
2025/7/23

1. 問題の内容

与えられた極限 limxπ2(xπ2)tanx\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} であることを利用して、与えられた極限を以下のように書き換えます。
limxπ2(xπ2)tanx=limxπ2(xπ2)sinxcosx\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}
ここで、xπ2=tx - \frac{\pi}{2} = t と置換すると、x=t+π2x = t + \frac{\pi}{2} となり、xπ2x \to \frac{\pi}{2} のとき t0t \to 0 となります。したがって、
limxπ2(xπ2)sinxcosx=limt0tsin(t+π2)cos(t+π2)\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})}
三角関数の加法定理より、sin(t+π2)=sintcosπ2+costsinπ2=cost\sin(t + \frac{\pi}{2}) = \sin t \cos \frac{\pi}{2} + \cos t \sin \frac{\pi}{2} = \cos t および cos(t+π2)=costcosπ2sintsinπ2=sint\cos(t + \frac{\pi}{2}) = \cos t \cos \frac{\pi}{2} - \sin t \sin \frac{\pi}{2} = -\sin t であるため、
limt0tsin(t+π2)cos(t+π2)=limt0tcostsint=limt0tsintcost\lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})} = \lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = \lim_{t \to 0} -\frac{t}{\sin t} \cos t
limt0sintt=1\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 より、limt0tsint=1\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1 であることを利用すると、
limt0tsintcost=limt0tsintlimt0cost=11=1\lim_{t \to 0} -\frac{t}{\sin t} \cos t = - \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cdot \lim_{t \to 0} \cos t = -1 \cdot 1 = -1

3. 最終的な答え

-1

「解析学」の関連問題

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の三角関数の方程式および不等式を解きます。 (1) $\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}...

三角関数三角方程式三角不等式弧度法
2025/7/25

関数 $f(x) = \cos^3 x + \sin^3 x + \frac{1}{2} \cos x \sin x - \frac{1}{2} (\cos x + \sin x)$ が与えられ、$t...

三角関数最大値最小値関数の合成微分
2025/7/25

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta \ge \fra...

三角関数三角関数の合成不等式2倍角の公式
2025/7/25

関数 $f(x) = 2\cos 2x + 2(\sqrt{3}-1)\cos x + 2 - \sqrt{3}$ について、 (1) $f(\frac{\pi}{3})$ の値を求める。 (2) $...

三角関数不等式加法定理2倍角の公式
2025/7/25

関数 $f(\theta) = \sin \theta - 2\cos \theta + \sqrt{5}$ の最大値を求め、さらに $f(\theta)$ が $\theta = \alpha$ で...

三角関数最大値三角関数の合成
2025/7/25

$0 \le x \le \pi$ のとき、$\sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{2}$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

三角関数三角関数の合成方程式解の公式
2025/7/25

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を...

三角関数最大値最小値微分平方完成
2025/7/25

次の3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(2-x)^{2}} dx$ (2) $\int_{1}^{2} x \sqrt{2-x} dx$ (3...

定積分積分計算置換積分部分分数分解
2025/7/25

関数 $f(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} - x) + 1$ が与えられており、$f(a) = 4$ である。また、$f(x) = g(x) + 1$ であり、$g(x)$ が奇関数であ...

関数対数関数奇関数合成関数
2025/7/25

関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、実数全体で単調減少となるような $a$ の範囲を求める問題です。 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4ax + 1 & (x...

関数の単調性対数関数微分不等式場合分け
2025/7/25