(1) 三角形ABCにおいて、$AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm, $AD = 3$ cm, $\angle AED = \angle ABC$であるとき、線分AEの長さを求める。 (2) $l // m$であるとき、$\angle x$を求める。 (3) 円錐の展開図において、底面の半径を求める。 (4) 底面の半径が4cm, 高さ3cmの円柱と、底面の半径が4cm、高さが3cmの円錐を合わせた立体の体積を求める。 (5) 体積が$144 cm^3$の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比は2:1であった。上の部分の円錐の体積を求める。

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCにおいて、$AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm, $AD = 3$ cm, $\angle AED = \angle ABC$であるとき、線分AEの長さを求める。

(2) $l // m$であるとき、$\angle x$を求める。

(3) 円錐の展開図において、底面の半径を求める。

(4) 底面の半径が4cm, 高さ3cmの円柱と、底面の半径が4cm、高さが3cmの円錐を合わせた立体の体積を求める。

(5) 体積が$144 cm^3$の円錐を底面に平行な平面で切ると、底面の円の半径と切り口の円の半径の比は2:1であった。上の部分の円錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ADEと三角形ABCにおいて、

$\angle A$は共通、$\angle AED = \angle ABC$であるから、三角形ADEと三角形ABCは相似である。

したがって、$AD:AB = AE:AC$

$3:6 = AE:5$

$6AE = 15$

$AE = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

(2)

$l$と$m$は平行なので、錯角は等しい。$l$と$m$の間にある線を延長すると、150°の隣の角は$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$となる。40°の錯角も40°なので、$\angle x = 30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$

(3)

円錐の側面となる扇形の弧の長さは、円錐の底面の円周と等しい。

扇形の中心角は$150^\circ$、半径は8cmなので、弧の長さは

$2 \pi \times 8 \times \frac{150}{360} = 16 \pi \times \frac{5}{12} = \frac{20 \pi}{3}$

底面の円周は$2 \pi r$なので、$2 \pi r = \frac{20 \pi}{3}$

$r = \frac{10}{3}$

(4)

円柱の体積は$V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times 4^2 \times 3 = 48 \pi$

円錐の体積は$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3 = 16 \pi$

合わせた体積は$V = 48 \pi + 16 \pi = 64 \pi$

(5)

円錐の体積比は相似比の3乗に等しい。半径の比が2:1なので、相似比も2:1。体積比は$2^3:1^3 = 8:1$

全体の体積は$144 cm^3$なので、小さい円錐の体積を$V$とすると、

$8V - V = 144$ではないので、$8V$は円錐全体、$V$は上の部分の円錐の体積

小さい円錐:大きい円錐 = 1:8 なので、上の部分の円錐の体積を$x$とすると、

$\frac{x}{144} = \frac{1}{8-1} = \frac{1}{7}$ではないので、

$x = \frac{144}{8} = 18$

3. 最終的な答え

(1) 2.5

(2) 70

(3) $\frac{10}{3}$

(4) $64\pi$

(5) 18