（１）1から5までの5個の数字をすべて使って5桁の整数をつくるとき、偶数は全部で何個できるか。 （２）1から7までの7個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。 （３）7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は何通りあるか。

## 問題の解答

1. 問題の内容

（１）1から5までの5個の数字をすべて使って5桁の整数をつくるとき、偶数は全部で何個できるか。

（２）1から7までの7個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ、3桁の整数を作るとき、200から500の間の整数は全部で何個できるか。

（３）7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

（１）5桁の整数を作る場合、一の位が偶数であれば良い。1から5までの数字のうち偶数は2と4の2つである。

* 一の位が2の場合、残りの4つの数字（1, 3, 4, 5）を並べる順列は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* 一の位が4の場合、残りの4つの数字（1, 2, 3, 5）を並べる順列は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* したがって、偶数の個数は $24 + 24 = 48$ 個。

（２）3桁の整数が200から500の間にあるためには、百の位は2, 3, 4のいずれかである必要がある。

* 百の位が2の場合、十の位と一の位には残り6個の数字から2つを選んで並べる。その組み合わせは ${}_6P_2 = 6 \times 5 = 30$ 通り。

* 百の位が3の場合、十の位と一の位には残り6個の数字から2つを選んで並べる。その組み合わせは ${}_6P_2 = 6 \times 5 = 30$ 通り。

* 百の位が4の場合、十の位と一の位には残り6個の数字から2つを選んで並べる。その組み合わせは ${}_6P_2 = 6 \times 5 = 30$ 通り。

* したがって、200から500の間の整数の個数は $30 + 30 + 30 = 90$ 個。

（３）7人を4人、2人、1人の3つのグループに分ける。

* まず、7人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

* 次に、残りの3人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

* 最後に、残った1人を選ぶ方法は ${}_1C_1 = 1$ 通り。

* したがって、7人を4人、2人、1人の3組に分ける方法は $35 \times 3 \times 1 = 105$ 通り。

3. 最終的な答え

（１）48個

（２）90個

（３）105通り