与えられた多項式を因数分解します。 (1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ (3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ (5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ (7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

はい、承知いたしました。画像にある因数分解の問題を解きます。今回は、(1), (3), (5), (7)の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解します。

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$

(3) $x^3 + ax^2 - x^2 - a$

(5) $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$

(7) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$4x^2$ と $- y^2 + 2y - 1$ に分けて考えます。

$- y^2 + 2y - 1 = - (y^2 - 2y + 1) = - (y - 1)^2$

したがって、$4x^2 - (y - 1)^2$ となります。これは、差の平方の形なので、

$4x^2 - (y - 1)^2 = (2x)^2 - (y - 1)^2 = (2x + (y - 1))(2x - (y - 1)) = (2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3)

$x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

$x^2$ でまとめると、$x^2(x + a) - (x^2 + a)$ となります。

しかし、これではうまくいきません。

$x^3 - x^2 + ax^2 - a$ と並び替えると、

$x^2(x - 1) + a(x^2 - 1) = x^2(x - 1) + a(x - 1)(x + 1) = (x - 1)(x^2 + a(x + 1)) = (x - 1)(x^2 + ax + a)$

(5)

$3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解します。

$x$ について整理すると、

$3x^2 + (2y + 7)x + (-y^2 + 3y + 4)$

$3x^2 + (2y + 7)x - (y^2 - 3y - 4) = 3x^2 + (2y + 7)x - (y - 4)(y + 1)$

$(3x + (a))(x + (b))$ の形になると予想します。

$3x^2 + (3b + a)x + ab$ なので、$ab = -(y - 4)(y + 1)$, $3b + a = 2y + 7$ となるように $a$ と $b$ を選びます。

$a = -(y-4)$, $b = (y+1)$ のとき、$3b + a = 3(y+1) - (y-4) = 3y + 3 - y + 4 = 2y + 7$ となり、条件を満たします。

よって、$(3x - (y - 4))(x + (y + 1)) = (3x - y + 4)(x + y + 1)$

(7)

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

$= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - cb^2 - ba^2 + ca^2 - ac^2 + bc^2$

$= b^2(a - c) - a^2(b - c) + c^2(b - a) = b^2(a - c) - a^2b + a^2c + bc^2 - ac^2$

$= (a - b)(b - c)(c - a)$の形になると予想します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - a^2b + a^2c - b^2c = ab^2 - a^2b + a^2c - ac^2 -b^2c + bc^2$

$= ab(b - a) - ac(c - a) + bc(c - b) = -ab(a - b) - ac(c - a) - bc(b - c)$

$= -(a-b)(b-c)(a-c) = (a - b)(b - c)(c - a)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

(3) $(x - 1)(x^2 + ax + a)$

(5) $(3x - y + 4)(x + y + 1)$

(7) $-(a - b)(b - c)(c - a)$