画像には３つの問題があります。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ の二等分線と直線 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AB:AC=3:2$ であるならば、$BD:DC$ を求めよ。 (5) 円 $O$ の円周上に３点 $A, B, C$ があり、$\angle BAC = 46^\circ$ であるとき、$\angle BOC$ を求めよ。 (6) $\triangle ABC$ の辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ があり、３つの直線 $AP, BQ, CR$ は一点で交わっている。$AR:RB=2:3, BP:PC=2:1$ であるとき、$AQ:QC$ を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

画像には３つの問題があります。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle BAC$ の二等分線と直線 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AB:AC=3:2$ であるならば、$BD:DC$ を求めよ。

(5) 円 $O$ の円周上に３点 $A, B, C$ があり、$\angle BAC = 46^\circ$ であるとき、$\angle BOC$ を求めよ。

(6) $\triangle ABC$ の辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ があり、３つの直線 $AP, BQ, CR$ は一点で交わっている。$AR:RB=2:3, BP:PC=2:1$ であるとき、$AQ:QC$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(4) 角の二等分線の性質より、$AB:AC = BD:DC$ が成り立つので、$BD:DC = 3:2$ となります。

(5) 円周角の定理より、$\angle BOC$ は $\angle BAC$ の２倍になります。したがって、$\angle BOC = 2 \times 46^\circ = 92^\circ$ となります。

(6) チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立ちます。与えられた比を代入すると、

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{4}$

よって、$AQ:QC = 4:3$ となります。

3. 最終的な答え

(4) $BD:DC = 3:2$

(5) $\angle BOC = 92^\circ$

(6) $AQ:QC = 4:3$