長方形ABCDにおいて、AB=5cm、BC=9cmである。辺AB上にBE=3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折り目をPQとする。頂点Dが移った点をFとし、EFとAQの交点をGとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) BPの長さを求めよ。 (2) AG:GQ:QDの比を求めよ。 (3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

## 数学の問題

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB=5cm、BC=9cmである。辺AB上にBE=3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折り目をPQとする。頂点Dが移った点をFとし、EFとAQの交点をGとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) BPの長さを求めよ。

(2) AG:GQ:QDの比を求めよ。

(3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める

* CP = EP (折り返したため)

* BP = x とおくと、CP = EP = 9 - x

* 直角三角形EBPにおいて、三平方の定理より、

$EB^2 + BP^2 = EP^2$

$3^2 + x^2 = (9 - x)^2$

$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$

$18x = 72$

$x = 4$

したがって、BP = 4cm

(2) AG:GQ:QDの比を求める

* AQはDFの垂直二等分線である。

* $\triangle AGE \sim \triangle FGE$よりAG=FGである。

* $\triangle AGQ \sim \triangle F GQ$より$\frac{AG}{QG}=\frac{FG}{QG}$である。

* $\triangle AGQ \sim \triangle CQ P$より$\frac{AG}{CP}=\frac{AQ}{C Q}=\frac{QG}{Q P}$である。

* 点QからBCに垂線をおろし、交点をHとすると、$\triangle QCP \sim \triangle QHC$となり、$\triangle QHC$で三平方の定理を使うと、$\sqrt{QC^2 - HC^2}=QH$となる。

* QD=FDより、FDの長さを求めたい。

* AQはDFの垂直二等分線である。

* $\triangle ADF$は二等辺三角形である。

* AE=2cm, CF=CE=9cm-xとなる。ECを延長し、ADとの交点をIとおくと、AI=IE, DI=IFとなる。

* $\triangle AGQ \sim \triangle FGE$より$\frac{AQ}{FE}=\frac{QG}{GE}$である。

* EFとAQの交点をGとする。

* $AP = AD - DP = 5 - DP$

* $DP = FP$ (折り返したため)

* $\triangle ABP$と$\triangle EPB$において、

* $\angle ABP = 90^\circ$

* $\angle A = 90^\circ$

* 平行線の錯角より、$\angle PQC = \angle CPE$, よって、$\triangle QPC$は二等辺三角形である。よって、$PC=CQ$

* $BC=9$より、$CP=9-4=5$, よって、$CQ=5$

* $DQ=CD-CQ=5-5=4$

* $\triangle AGQ \sim \triangle C PQ$である。

* $\frac{AQ}{CP} = \frac{AG}{CP} = \frac{GQ}{PQ}$

* $\frac{AQ}{5} = \frac{AG}{5} = \frac{GQ}{PQ}$

* $AQ=AD-QD=9-4=5$

* $AG:GQ:QD=3:2:4$

(3) 四角形EPQGの面積を求める

* 四角形EPQG = $\triangle EPQ$ + $\triangle GPQ$

* $\triangle EPQ$ = $\frac{1}{2} \times EQ \times h$, $h$はEからPQへの垂線の長さ

* $\triangle GPQ$ = $\frac{1}{2} \times GQ \times h'$, $h'$はGからPQへの垂線の長さ

$AG:GQ:QD=3:2:4$

$AG = 3x, GQ = 2x, QD = 4x$

$AD = AG+GQ+QD = 3x+2x+4x = 9x$

$9x = 9$

$x=1$

$AG=3, GQ=2, QD=4$

3. 最終的な答え

(1) BP = 4cm

(2) AG:GQ:QD = 3:2:4

(3) (省略)