画像にある6つの図形に関する問題を解きます。 * (1) 三角形の3本の中線が交わる点は、三角形の何というか？ * (2) $AB = 2$, $BC = 4$, $CA = 3$ である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、$BD$はいくらか？ * (3) 円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAD = 125^\circ$のとき、$\angle BCD$はいくらか？ * (4) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分AB, CDの交点をPとする。$PA = 4$, $PB = 6$, $PC = 3$であるとき、$PD$はいくらか？ * (5) 三角形ABCの外接円が、点Aで直線TT'に接している。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle T'AB = 60^\circ$であるとき、$\angle ABC$はいくらか？ * (6) 半径が4cmと3cmの2つの円が外接するとき、2つの円の中心間の距離は何cmか？

はい、承知しました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

画像にある6つの図形に関する問題を解きます。

* (1) 三角形の3本の中線が交わる点は、三角形の何というか？

* (2) $AB = 2$, $BC = 4$, $CA = 3$ である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、$BD$はいくらか？

* (3) 円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAD = 125^\circ$のとき、$\angle BCD$はいくらか？

* (4) 円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分AB, CDの交点をPとする。$PA = 4$, $PB = 6$, $PC = 3$であるとき、$PD$はいくらか？

* (5) 三角形ABCの外接円が、点Aで直線TT'に接している。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle T'AB = 60^\circ$であるとき、$\angle ABC$はいくらか？

* (6) 半径が4cmと3cmの2つの円が外接するとき、2つの円の中心間の距離は何cmか？

2. 解き方の手順

* (1) 三角形の3本の中線が交わる点は、三角形の**重心**です。

* (2) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$なので、$BD:DC = 2:3$。$BC = 4$なので、$BD = 4 \times \frac{2}{2+3} = \frac{8}{5} = 1.6$

* (3) 円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

* (4) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$なので、$4 \cdot 6 = 3 \cdot PD$。よって、$PD = \frac{24}{3} = 8$

* (5) 接弦定理より、$\angle BCA = \angle T'AB = 60^\circ$。三角形の内角の和は180度なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ$

* (6) 2つの円が外接しているので、中心間の距離は半径の和に等しい。よって、中心間の距離は$4 + 3 = 7$cm

3. 最終的な答え

* (1) 重心

* (2) 1.6

* (3) 55

* (4) 8

* (5) 50

* (6) 7