三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 54^\circ$、$\angle ABC = 58^\circ$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとするとき、$\angle BID$を求めよ。

## 問題3 (1)

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 54^\circ$、$\angle ABC = 58^\circ$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとするとき、$\angle BID$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの内角の和は180°なので、$\angle ACB$を求める。

$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (54^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$

次に、内心Iは各内角の二等分線の交点であるから、$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC$、$\angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC$となる。

$\angle BAI = \frac{1}{2} \times 54^\circ = 27^\circ$

$\angle ABI = \frac{1}{2} \times 58^\circ = 29^\circ$

三角形ABIにおいて、

$\angle AIB = 180^\circ - (\angle BAI + \angle ABI) = 180^\circ - (27^\circ + 29^\circ) = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$

また、三角形ABDにおいて、$\angle BAD = \angle BAI = 27^\circ$、$\angle ABD = \angle ABC = 58^\circ$である。

$\angle ADB = 180^\circ - (27^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$

$\angle BID$は$\angle ADB$の外角であるから、

$\angle BID = \angle BAD + \angle ABD = 27^\circ + 58^\circ = 85^\circ$

もしくは、

$\angle BID = \angle ABI + \angle BAI = \frac{1}{2}\angle ABC + \frac{1}{2}\angle BAC + \angle ABC$

$\angle BID = \angle IBD + \angle IDB = \frac{1}{2} \times 58 + 54 + 29$

$\angle BID = \frac{\angle ABC}{2} + \angle BAC = 29^\circ + 54^\circ = 83^\circ$

三角形BDIにおいて、

$\angle BID = 180^\circ - \angle IBD - \angle IDB$

$\angle IDB = \angle ABI + \angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC + 2 \angle ABI = \angle IBD + \angle IBA + \angle AIB$

したがって、

$\angle BID = 83^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle BID = 83^\circ$