画像にある3つの数学の問題について、以下の問いに答えます。 * 【1】(1) 連立不等式の解を求める。 * 【1】(2) 整数 $a, b$ について、$a$ を 11 で割った余りと $b$ を 11 で割った余りが与えられたとき、$a+b$ を 11 で割った余りと $ab$ を 11 で割った余りを求める。 * 【1】(3) 5 つの変量の偏差の 2 乗が与えられたとき、データの標準偏差を求める。 * 【2】(1) 鉄塔の高さを $h$ とするとき、鉄塔からの距離 $AC, BC$ を $h, \alpha, \beta$ を用いて表す。 * 【2】(2) $\alpha, \beta$ の角度と $AB$ の長さ、$\angle ACB$ が与えられたとき、鉄塔の高さ $PC$ を求める。 * 【3】(1) 2 次関数を平方完成し、$y$ の最大値を求める。 * 【3】(2) グラフの $y$ 軸との共有点の $y$ 座標が -2 のときの $p$ の値を求める。 * 【3】(3) $p$ が正の値をとるときの、グラフの $x$ 軸との共有点の座標を求める。

代数学連立不等式剰余標準偏差三角比二次関数平方完成最大値二次方程式
2025/7/23
はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像にある3つの数学の問題について、以下の問いに答えます。
* 【1】(1) 連立不等式の解を求める。
* 【1】(2) 整数 a,ba, b について、aa を 11 で割った余りと bb を 11 で割った余りが与えられたとき、a+ba+b を 11 で割った余りと abab を 11 で割った余りを求める。
* 【1】(3) 5 つの変量の偏差の 2 乗が与えられたとき、データの標準偏差を求める。
* 【2】(1) 鉄塔の高さを hh とするとき、鉄塔からの距離 AC,BCAC, BCh,α,βh, \alpha, \beta を用いて表す。
* 【2】(2) α,β\alpha, \beta の角度と ABAB の長さ、ACB\angle ACB が与えられたとき、鉄塔の高さ PCPC を求める。
* 【3】(1) 2 次関数を平方完成し、yy の最大値を求める。
* 【3】(2) グラフの yy 軸との共有点の yy 座標が -2 のときの pp の値を求める。
* 【3】(3) pp が正の値をとるときの、グラフの xx 軸との共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

【1】(1) 連立不等式
x+7<6x13x + 7 < 6x - 13
2x62(7x)2x - 6 \ge 2(7 - x)
まず、それぞれの不等式を解きます。
一つ目の不等式:
x+7<6x13x + 7 < 6x - 13
20<5x20 < 5x
4<x4 < x
二つ目の不等式:
2x6142x2x - 6 \ge 14 - 2x
4x204x \ge 20
x5x \ge 5
したがって、連立不等式の解は x5x \ge 5 となります。
【1】(2) 整数の剰余
a5(mod11)a \equiv 5 \pmod{11}
b7(mod11)b \equiv 7 \pmod{11}
a+b5+7121(mod11)a + b \equiv 5 + 7 \equiv 12 \equiv 1 \pmod{11}
ab5×7352(mod11)ab \equiv 5 \times 7 \equiv 35 \equiv 2 \pmod{11}
したがって、a+ba+b を 11 で割った余りは 1, abab を 11 で割った余りは 2 となります。
【1】(3) 標準偏差
偏差の 2 乗の和は 9+81+64+25+1=1809 + 81 + 64 + 25 + 1 = 180
分散は 180/5=36180/5 = 36
標準偏差は 36=6\sqrt{36} = 6
【2】(1) 距離の表現
tan(α)=hAC\tan(\alpha) = \frac{h}{AC} より、AC=htan(α)AC = \frac{h}{\tan(\alpha)}
tan(β)=hBC\tan(\beta) = \frac{h}{BC} より、BC=htan(β)BC = \frac{h}{\tan(\beta)}
【2】(2) 鉄塔の高さの計算
余弦定理より、
AB2=AC2+BC22ACBCcos(150)AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(150^\circ)
1402=(htan(45))2+(htan(30))22htan(45)htan(30)(32)140^2 = (\frac{h}{\tan(45^\circ)})^2 + (\frac{h}{\tan(30^\circ)})^2 - 2 \cdot \frac{h}{\tan(45^\circ)} \cdot \frac{h}{\tan(30^\circ)} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})
19600=h2+3h2+3h2=(4+3)h219600 = h^2 + 3h^2 + \sqrt{3}h^2 = (4+\sqrt{3})h^2
h2=196004+3=19600(43)163=19600(43)13h^2 = \frac{19600}{4 + \sqrt{3}} = \frac{19600(4-\sqrt{3})}{16-3} = \frac{19600(4-\sqrt{3})}{13}
h=1960013(43)=14042.64613=1401.35413140×0.10415140×0.322745.18h = \sqrt{\frac{19600}{13}(4-\sqrt{3})} = 140\sqrt{\frac{4 - 2.646}{13}} = 140\sqrt{\frac{1.354}{13}} \approx 140 \times \sqrt{0.10415} \approx 140 \times 0.3227 \approx 45.18
したがって、鉄塔の高さ hh は約 45.245.2 m となります。
【3】(1) 平方完成と最大値
y=4x2+4px(p+2)(p2)=4(x2px)(p24)y = -4x^2 + 4px - (p+2)(p-2) = -4(x^2 - px) - (p^2 - 4)
y=4(xp2)2+p2(p24)=4(xp2)2+4y = -4(x - \frac{p}{2})^2 + p^2 - (p^2 - 4) = -4(x - \frac{p}{2})^2 + 4
これは上に凸の放物線なので、最大値は 4 です。
【3】(2) y軸との共有点
x=0x = 0 のとき、y=(p+2)(p2)=(p24)=4p2y = -(p+2)(p-2) = -(p^2 - 4) = 4 - p^2
4p2=24 - p^2 = -2
p2=6p^2 = 6
p=±6p = \pm \sqrt{6}
【3】(3) x軸との共有点
p=6p = \sqrt{6} のとき、
y=4x2+46x(64)=4x2+46x2=0y = -4x^2 + 4\sqrt{6}x - (6 - 4) = -4x^2 + 4\sqrt{6}x - 2 = 0
2x226x+1=02x^2 - 2\sqrt{6}x + 1 = 0
x=26±(26)24(2)(1)4=26±2484=26±164=26±44=6±22x = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 4(2)(1)}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{24 - 8}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm 4}{4} = \frac{\sqrt{6} \pm 2}{2}
したがって、x軸との共有点の座標は (6+22,0),(622,0)(\frac{\sqrt{6}+2}{2}, 0), (\frac{\sqrt{6}-2}{2}, 0) となります。

3. 最終的な答え

【1】(1) x5x \ge 5
【1】(2) 1, 2
【1】(3) 6
【2】(1) AC=htan(α)AC = \frac{h}{\tan(\alpha)}, BC=htan(β)BC = \frac{h}{\tan(\beta)}
【2】(2) 45.2 m
【3】(1) y=4(xp2)2+4y = -4(x - \frac{p}{2})^2 + 4, 最大値は 4
【3】(2) p=±6p = \pm \sqrt{6}
【3】(3) (6+22,0),(622,0)(\frac{\sqrt{6}+2}{2}, 0), (\frac{\sqrt{6}-2}{2}, 0)

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