(1) $\angle BAC = 54^\circ$, $\angle ABC = 58^\circ$ の $\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$\angle BID$ を求めよ。 (2) $AB = 5, BC = 6, CA = 4$ の $\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AI:ID$ を求めよ。 (3) 四角形 $ABCD$ が円に内接し、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAD = 100^\circ$, $\angle DCT' = 45^\circ$ であるとき、$\angle BDC$ を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\angle BAC = 54^\circ$, $\angle ABC = 58^\circ$ の $\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$\angle BID$ を求めよ。

(2) $AB = 5, BC = 6, CA = 4$ の $\triangle ABC$ の内心を $I$ とし、直線 $AI$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AI:ID$ を求めよ。

(3) 四角形 $ABCD$ が円に内接し、点 $C$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAD = 100^\circ$, $\angle DCT' = 45^\circ$ であるとき、$\angle BDC$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $\triangle ABC$ において、$\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (54^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$

* $I$ は内心なので、$AI$ は $\angle BAC$ の二等分線である。よって、$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \times 54^\circ = 27^\circ$

* $\triangle ABI$ において、$\angle AIB = 180^\circ - (\angle BAI + \angle ABI) = 180^\circ - (27^\circ + 29^\circ) = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$

* $\angle BID$ は $\angle AIB$ の外角であるので、$\angle BID = 180^\circ - \angle AIB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$

* $\triangle ABD$において、$\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (54^\circ + 58^\circ) = 68^\circ$

* $\triangle ABI$において、$\angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 58^\circ = 29^\circ$

* $\triangle ABD$において、$\angle BAD = \angle BAC = 54^\circ$

* $\triangle ABD$において、$\angle BID = \angle BAI + \angle ABI = 27^\circ + 58^\circ = 85^\circ$

(2)

* 角の二等分線の定理より、$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{4}$

* $BD + CD = BC = 6$ なので、$BD = \frac{5}{5+4} \times 6 = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{10}{3}$

* $AI$ は $\angle BAC$ の二等分線なので、$\frac{AI}{ID} = \frac{AB+AC}{BC} = \frac{5+4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

(3)

* 円に内接する四角形の性質より、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

* 接線と弦の作る角の定理より、$\angle CAD = \angle DCT' = 45^\circ$

* $\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 100^\circ - 45^\circ = 55^\circ$

* $\angle BDA = \angle BCA$　　　円周角の定理

* $\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD$

* $\angle ACD = \angle CAD = 45^\circ$

* $\angle BCA = 80^\circ - 45^\circ = 35^\circ$

* $\angle BDC = \angle BCA = 35^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BID = 85^\circ$

(2) $AI:ID = 3:2$

(3) $\angle BDC = 35^\circ$