与えられた行列 $A$ について、いくつかの問いに答える問題です。 行列 $A$ は以下の通りです。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ について、いくつかの問いに答える問題です。

行列 $A$ は以下の通りです。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

問題文には具体的な問いが書かれていないため、ここでは一般的な行列に関する計算、例えば行列式、固有値などを計算する手順について説明します。

* **行列式の計算:**

3x3行列の行列式は、以下の公式を用いて計算できます。

$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

ここで、$a_{ij}$ は行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の要素を表します。

この公式に与えられた行列 $A$ の要素を代入すると、

$\det(A) = 1(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) - 3(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + 2(1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) \\ = 1(2 + 3) - 3(1 + 2) + 2(3 - 4) \\ = 1(5) - 3(3) + 2(-1) \\ = 5 - 9 - 2 \\ = -6$

* **固有値の計算:**

固有値 $\lambda$ は、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解くことで求められます。ここで、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 3 & 2 \\ 1 & 2-\lambda & -1 \\ 2 & 3 & 1-\lambda \end{bmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)((2-\lambda)(1-\lambda) - (-1)(3)) - 3(1(1-\lambda) - (-1)(2)) + 2(1(3) - (2-\lambda)(2)) \\ = (1-\lambda)(2 - 3\lambda + \lambda^2 + 3) - 3(1 - \lambda + 2) + 2(3 - 4 + 2\lambda) \\ = (1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 5) - 3(3 - \lambda) + 2(2\lambda - 1) \\ = \lambda^2 - 3\lambda + 5 - \lambda^3 + 3\lambda^2 - 5\lambda - 9 + 3\lambda + 4\lambda - 2 \\ = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - \lambda - 6$

したがって、特性方程式は $-\lambda^3 + 4\lambda^2 - \lambda - 6 = 0$ となります。

または、$\lambda^3 - 4\lambda^2 + \lambda + 6 = 0$

この3次方程式を解くことで固有値 $\lambda$ が求まります。例えば、$\lambda = 2$ を代入すると、$8-16+2+6=0$ となるので、$\lambda = 2$ は解の一つです。組み立て除法などを用いて、$(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda-3) = 0$、$(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1) = 0$。よって、固有値は、$\lambda = 2, 3, -1$。

3. 最終的な答え

行列式：$\det(A) = -6$

固有値：$\lambda = 2, 3, -1$