数学的帰納法を用いて、$2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)$ を証明する穴埋め問題です。空欄「ソ」、「タ」、「チ」、「ツ」、「テ」を埋めます。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、$2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)$ を証明する穴埋め問題です。空欄「ソ」、「タ」、「チ」、「ツ」、「テ」を埋めます。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のときを考えます。

* 左辺は、$2 \cdot 1 = 2$ なので、空欄「タ」は2です。

* 右辺は、$1(1+1) = 2$ なので、空欄「チ」は2です。

* よって、$n = 1$ のとき、$2 = 2$ となり、(A)は成り立ちます。空欄「ソ」は1です。

(2) $n = k$ のとき、(A)が成り立つと仮定します。すなわち、$2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k+1)$ が成り立つと仮定します。

(3) $n = k+1$ のときを考えます。

* 左辺は、$2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1)$となります。

* $2(k+1) = 2k + 2$ なので、空欄「ツ」は $2k+2$ です。

* $k(k+1) + 2k + 2 = k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)$ となります。

* $(k+1)(k+2) = (k+1)(k+1+1)$ となるので、空欄「テ」は $k+2$ となります。

(4) $n = k+1$ のとき、(A)の左辺は$(k+1)(k+2)$となり、右辺は$(k+1)((k+1)+1)=(k+1)(k+2)$となり、一致します。

よって、$n=k+1$ のときにも(A)は成り立ちます。

3. 最終的な答え

ソ：1

タ：2

チ：2

ツ：2k+2

テ：k+2