与えられた和 $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$ を計算し、$S = (n - \text{エ}) \cdot \text{オ}^{n+1} + \text{カ}$ の形式で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$ を計算し、$S = (n - \text{エ}) \cdot \text{オ}^{n+1} + \text{カ}$ の形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を以下のように書きます。

$S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$

次に、$2S$ を計算します。

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n) - (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1})$

$-S = 1 \cdot 2 + (2-1) \cdot 2^2 + (3-2) \cdot 2^3 + \dots + (n - (n-1)) \cdot 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

等比数列の和の公式を用いて、$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n$ を計算します。これは初項が $2$、公比が $2$、項数が $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 2^n - 2 - n \cdot 2^{n+1}$

$S = n \cdot 2^{n+1} - 2^n + 2$

$S = 2n \cdot 2^n - 2^n + 2$

$S = (2n - 1) 2^n + 2$

$S = (n-1/2)*2*2^n + 2$

$S = (n - 1/2) * 2^{n+1} + 2$

別のやり方として、

$-S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$

$-S = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1}$

$S = n \cdot 2^{n+1} - 2^{n+1} + 2$

$S = (n - 1) 2^{n+1} + 2$

3. 最終的な答え

エ = 1

オ = 2

カ = 2

$S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2$