与えられた行列の行列式を計算します。

## 問題の回答

以下に、画像に示された数学の問題の解答を示します。

### 問題 10-1

1. **問題の内容**

与えられた行列の行列式を計算します。

2. **解き方の手順**

* (1) $2 \times 2$ 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式は、$1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = 1 - 6 = -5$ で計算できます。

* (2) $2 \times 2$ 行列 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ の行列式は、$1 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2 = -2 + 2 = 0$ で計算できます。

* (3) $3 \times 3$ 行列 $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式は、以下のように計算できます。

$\det = -1(1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-3)) - 2(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) + 1(1 \cdot (-3) - 1 \cdot 2)$

$\det = -1(-1 + 6) - 2(-1 - 4) + 1(-3 - 2)$

$\det = -1(5) - 2(-5) + 1(-5)$

$\det = -5 + 10 - 5 = 0$

* (4) $3 \times 3$ 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式は、以下のように計算できます。

$\det = 1(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - 2(2 \cdot 0 - 1 \cdot 3) + (-1)(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 3)$

$\det = 1(0 + 1) - 2(0 - 3) - 1(-2 - 3)$

$\det = 1(1) - 2(-3) - 1(-5)$

$\det = 1 + 6 + 5 = 12$

3. **最終的な答え**

* (1) -5

* (2) 0

* (3) 0

* (4) 12

### 問題 10-2

1. **問題の内容**

与えられた4点を頂点とする平行四辺形の面積を求めます。

2. **解き方の手順**

* (1) O(0,0), A(1,3), B(3,2), C(4,5)

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{OB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

面積 S = $|\det(\vec{OA}, \vec{OB})| = |1 \cdot 2 - 3 \cdot 3| = |2 - 9| = |-7| = 7$

* (2) O(0,0,0), A(1,1,2), B(2,-1,0), C(3,0,2)

これは平行四辺形をなさないため、OA, OBで張られる平行四辺形の面積を求めます。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

面積 S = $||\vec{OA} \times \vec{OB}|| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$

* (3) A(-1,0,3), B(0,1,1), C(1,2,0), D(2,3,-2)

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 1 - 0 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ 2 - 0 \\ 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-3) - (-2) \cdot 2 \\ -2 \cdot 2 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 4 \\ -4 + 3 \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

面積 S = $||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$

3. **最終的な答え**

* (1) 7

* (2) $\sqrt{29}$

* (3) $\sqrt{2}$

### 問題 10-3

1. **問題の内容**

O(0,0,0), A(1,2,3), B(2,-1,2), C(-3,3,-2) を頂点とする平行6面体の体積を求めます。

2. **解き方の手順**

平行6面体の体積は、$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ のスカラー三重積の絶対値で求められます。

$\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{OB} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{OC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$

体積 V = $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$

まず、$\vec{OB} \times \vec{OC}$ を計算します。

$\vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{pmatrix} (-1)(-2) - (2)(3) \\ (2)(-3) - (2)(-2) \\ (2)(3) - (-1)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 6 \\ -6 + 4 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に、$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})$ を計算します。

$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = (1)(-4) + (2)(-2) + (3)(3) = -4 - 4 + 9 = 1$

最後に、体積 V の絶対値を計算します。

$V = |1| = 1$

3. **最終的な答え**

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