行列 $B$ を簡約化せよという問題です。行列 $B$ は次のように与えられています。 $B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 1 & a & -1 \\ 2 & 5 & a-1 \\ 2 & a+1 & -2a-1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

行列 $B$ を簡約化せよという問題です。行列 $B$ は次のように与えられています。

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 1 & a & -1 \\ 2 & 5 & a-1 \\ 2 & a+1 & -2a-1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列を簡約化するには、行基本変形を用いて階段行列に変形していく必要があります。

* 1行目を基準にして、2行目, 3行目, 4行目の1列目の成分を0にします。

* 2行目から1行目を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 2 & 5 & a-1 \\ 2 & a+1 & -2a-1 \end{bmatrix}$

* 3行目から1行目の2倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 3 & a+4a-1+4a \\ 0 & a+1 & -2a-1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 3 & a+1 \\ 0 & a+1 & -2a-1 +4a \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 3 & a-1+4a \\ 0 & a+1 & -2a-1 \end{bmatrix}$

* 4行目から1行目の2倍を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 3 & a+1 \\ 0 & a-1 & 2a-1 \end{bmatrix}$

* 次に、2行目を基準にして、3行目と4行目の2列目の成分を0にすることを目指します。

* 4行目から2行目を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - R_2$):

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 3 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

* 3行目から2行目の $\frac{3}{a-1}$ 倍を引きます。このステップを行うには、$a \neq 1$ を仮定する必要があります。 ($R_3 \rightarrow R_3 - \frac{3}{a-1}R_2$)

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 0 & a+1 - \frac{3(2a-1)}{a-1} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

* 3行目の3列目の成分を計算します:

$a+1 - \frac{6a-3}{a-1} = \frac{(a+1)(a-1) - (6a-3)}{a-1} = \frac{a^2-1-6a+3}{a-1} = \frac{a^2 - 6a + 2}{a-1}$

したがって、行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 0 & \frac{a^2 - 6a + 2}{a-1} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$a=1$ の場合、最初の行列は

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

$R_2\rightarrow R_2-R_1$

$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$

$R_4\rightarrow R_4-2R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$a \neq 1$ のとき、簡約化された行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2a \\ 0 & a-1 & 2a-1 \\ 0 & 0 & \frac{a^2 - 6a + 2}{a-1} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$a = 1$のとき、簡約化された行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$