与えられた行列の等式が成り立つことを確認します。等式は、ある4x4行列と別の4x4行列の積が、特定の対角行列になることを主張しています。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式が成り立つことを確認します。等式は、ある4x4行列と別の4x4行列の積が、特定の対角行列になることを主張しています。

2. 解き方の手順

まず、左辺の行列の積を計算します。

$$$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & i & -1 & -i \\

1 & -1 & 1 & -1 \\

1 & -i & -1 & i

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

a & b & c & d \\

d & a & b & c \\

c & d & a & b \\

b & c & d & a

\end{bmatrix}

$$$$

各成分を計算します。

(1,1)成分: $1*a + 1*d + 1*c + 1*b = a + b + c + d$

(1,2)成分: $1*b + 1*a + 1*d + 1*c = a + b + c + d$

(1,3)成分: $1*c + 1*b + 1*a + 1*d = a + b + c + d$

(1,4)成分: $1*d + 1*c + 1*b + 1*a = a + b + c + d$

(2,1)成分: $1*a + i*d + (-1)*c + (-i)*b = a - ib - c + id$

(2,2)成分: $1*b + i*a + (-1)*d + (-i)*c = b + ai - d - ci = a*i + b - c*i - d = a*i+b + c*(-i) + d*(-1)$

(2,3)成分: $1*c + i*b + (-1)*a + (-i)*d = c - ai + (-1)*d + (-i)*a$

(2,4)成分: $1*d + i*c + (-1)*b + (-i)*a = d + ic -b -ia$

(3,1)成分: $1*a + (-1)*d + 1*c + (-1)*b = a - b + c - d$

(3,2)成分: $1*b + (-1)*a + 1*d + (-1)*c = -a + b - c + d$

(3,3)成分: $1*c + (-1)*b + 1*a + (-1)*d = a - b + c - d$

(3,4)成分: $1*d + (-1)*c + 1*b + (-1)*a = -a + b - c + d$

(4,1)成分: $1*a + (-i)*d + (-1)*c + i*b = a + ib - c - id$

(4,2)成分: $1*b + (-i)*a + (-1)*d + i*c = b - ai -d + ci$

(4,3)成分: $1*c + (-i)*b + (-1)*a + i*d = c - ib -a + id$

(4,4)成分: $1*d + (-i)*c + (-1)*b + i*a = d - ic -b + ia$

次に、計算された行列と与えられた右辺の対角行列が一致するか確認します。

$$$$

\begin{bmatrix}

a+b+c+d & 0 & 0 & 0 \\

0 & a-ib-c+id & 0 & 0 \\

0 & 0 & a-b+c-d & 0 \\

0 & 0 & 0 & a+ib-c-id

\end{bmatrix}

$$$$

$$$$

\begin{bmatrix}

a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d \\

a-ib-c+id & ai+b-ci-d & -ai+c-di-b & -ai-b+ic+d \\

a-b+c-d & -a+b-c+d & a-b+c-d & -a+b-c+d \\

a+ib-c-id & b-ai-d+ci & c-ib-a+id & d-ic-b+ia

\end{bmatrix}

$$$$

与えられた等式は、行列の積が対角行列になることなので、行列の要素が指定された対角要素以外は0になる必要があります。与えられた左辺の行列の要素を見ると、これは一般的には成立しません。

3. 最終的な答え

与えられた等式は一般的には成立しません。

左辺の行列の積は、必ずしも右辺の対角行列になりません。

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\begin{bmatrix}

a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d & a+b+c+d \\

a-ib-c+id & ai+b-ci-d & -ai+c-di-b & -ai-b+ic+d \\

a-b+c-d & -a+b-c+d & a-b+c-d & -a+b-c+d \\

a+ib-c-id & b-ai-d+ci & c-ib-a+id & d-ic-b+ia

\end{bmatrix}

\ne

\begin{bmatrix}

a+b+c+d & 0 & 0 & 0 \\

0 & a-ib-c+id & 0 & 0 \\

0 & 0 & a-b+c-d & 0 \\

0 & 0 & 0 & a+ib-c-id

\end{bmatrix}

$$$$